## 留言板

 引用本文: 谢建, 龙四春, 周璀. 不等式约束PEIV模型的经典最小二乘方法[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2021, 46(9): 1291-1297.
XIE Jian, LONG Si-chun, ZHOU Cui. Classical Least Squares Method for Inequality Constrained PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1291-1297. doi: 10.13203/j.whugis20190196
 Citation: XIE Jian, LONG Si-chun, ZHOU Cui. Classical Least Squares Method for Inequality Constrained PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1291-1297.

• 中图分类号: P207

## Classical Least Squares Method for Inequality Constrained PEIV Model

Funds:

The National Natural Science Foundation of China 41704007

The National Natural Science Foundation of China 41877283

The National Natural Science Foundation of China 42074016

###### Author Bio: XIE Jian, PhD, specializes in surveying adjustment and data processing. E-mail: hsiejian841006@163.com
• 摘要: 不等式约束部分变量含误差(partial errors-in-variables, PEIV)模型目前主要采用线性化方法和非线性规划类算法, 前者计算效率较低, 后者基于最优化理论, 计算复杂, 未能与经典平差理论建立联系, 难以在测量实际中推广。在整体最小二乘准则下, 根据最优解的Kuhn-Tucker条件, 将不等式约束整体最小二乘解的计算转化为二次规划问题, 并提出改进的Jacobian迭代法求解二次规划。所提方法不需要对观测方程线性化, 与经典最小二乘法具有相同的形式, 易于编程实现。数值实例表明, 所提方法形式简洁, 具有良好的计算效率, 是经典最小二乘平差理论的有益拓展。
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##### 计量
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2020-12-02
• 刊出日期:  2021-09-18

## 不等式约束PEIV模型的经典最小二乘方法

##### doi: 10.13203/j.whugis20190196
###### 1. 湖南科技大学煤炭资源清洁利用与矿山环境保护湖南省重点实验室，湖南 湘潭，4112012. 中南林业科技大学理学院，湖南 长沙，410018
基金项目:

国家自然科学基金 41704007

国家自然科学基金 41877283

国家自然科学基金 42074016

• 中图分类号: P207

### English Abstract

 引用本文: 谢建, 龙四春, 周璀. 不等式约束PEIV模型的经典最小二乘方法[J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版), 2021, 46(9): 1291-1297.
XIE Jian, LONG Si-chun, ZHOU Cui. Classical Least Squares Method for Inequality Constrained PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1291-1297. doi: 10.13203/j.whugis20190196
 Citation: XIE Jian, LONG Si-chun, ZHOU Cui. Classical Least Squares Method for Inequality Constrained PEIV Model[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2021, 46(9): 1291-1297.
• 在大地测量坐标转换、曲线曲面拟合、摄影测量后方交会、大地测量反演等领域[1-6]，平差系统的系数矩阵和观测向量均含有随机误差，这类模型称为变量含误差（errors-in-variables, EIV）模型。令随机误差的平方和最小，求EIV模型最优解的算法称为整体最小二乘（total least squares, TLS）方法。当随机误差都服从独立同分布时，称为等权TLS。当误差相关、精度不相等时，称为加权TLS(weighted TLS, WTLS）。Fang[7]推导了WTLS问题获得最优解的条件，并提出了3类典型算法。Mahboub[8]给出了构建系数阵权阵的几点规则和特殊结构下WTLS的迭代方案，并运用到线性回归和二维仿射变换。Shen等[9]将WTLS问题转换为非线性加权最小二乘问题，利用Gauss-Newton法得到的解在形式上与经典最小二乘解（least squares, LS）相同，并采用蒙特卡罗模拟得到了单位权方差的近似无偏估计。Amiri-Simkooei等[10]也给出了与经典LS解形式相同的WTLS解。

当参数间存在可靠的先验信息时，将其纳入EIV模型能提高参数估计的精度和可靠性。Schaffrin等[11]将含线性约束的TLS问题转化为特征值问题，得到了方差的近似值，并扩展到同时含有线性和二次约束的情形。Zhang等[12]提出了解不等式约束WTLS(inequality constrained WTLS, ICWTLS）问题的穷举搜索法，其计算量随约束的增加迅速增大。Fang[13]采用起作用集方法和序列二次规划（sequential quadratic programming, SQP）算法求解ICWTLS问题。

Xu等[14]将EIV模型扩展成部分变量含误差（partial errors-in-variables, PEIV）模型并推导了其算法和近似方差。Shi等[15]给出了PEIV模型的经典LS形式的解，并分析了算法计算量与系数阵中含误差元素个数间的关系。Zeng等[16]提出了不等式约束PEIV(inequality constrained PEIV, ICPEIV）模型的线性近似方法，将其转化为二次规划子问题，其计算效率较低。ICPEIV模型在WTLS准则下可归结为约束非线性规划问题，采用最优化理论的乘子法、惩罚函数法、积极约束法等，计算过程较复杂，与经典平差理论相去甚远[17]。解不等式约束最小二乘（inequality constrained LS, ICLS）问题的Jacobian迭代算法与解等式约束LS问题的算法相似，ICLS问题可纳入经典平差模型的范畴。

为了简化ICPEIV模型的计算，得到与经典平差形式一致的算法，本文提出了解ICPEIV模型的经典LS方法。首先，根据ICPEIV模型获得最优解的一阶必要条件，将模型参数和系数阵元素的估计进行分离。模型参数的估计归结为解ICLS问题，系数阵元素的估计根据两类参数的关系得到。然后，提出扩展的Lagrange方法，将ICLS问题归结为经典的等式约束平差问题，不需要对观测方程线性化，也无需利用规划类算法，与经典LS方法形式一致。

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