卫星k、接收机r、历元t_n的双频码和相位观测量为：

式中，g_r^k为几何相关项(包含几何距离r_r^k、接收机钟差δτ_r、卫星钟差δτ^k，对流层延迟T_r^k)。

式中，I_r^k为频点f₁的电离层延迟；μ_j=f₁²/f_j²为频率比平方；N_r,j^k为频点j的整周模糊度；β_r,j、β_r,j^k分别为接收机和卫星相位偏差；b_r,j、b_j^k分别为接收机和卫星码偏差；η_r,j^k、ε_r,j^k分别为码和相位噪声，包含多径误差。

式(1)中的部分偏差项无法分离，因而不能同时估计所有偏差。通过参数映射将码偏差项映射到几何相关项和电离层延迟中^[4]，即

以及

式中，接收机相关的码偏差项b_gr和b_Ir可表示为b_r,1和b_r,2的函数：

同样地，卫星相关的偏差项b_g^k和b_I^k为：

码和相位偏差项被模糊度参数吸收，模糊度参数不再为整数，即

由式(3)、式(4)、式(7)可知，电离层估计 $\tilde{I}_{r}^{k}$ 中包含了卫星和接收机码偏差的影响。一般通过电离层薄层模型分离出码偏差^[1]，得到修正后的电离层延迟。但最近研究表明^[5]，由于电离层单层模型将实际的三维电离层简化为二维模型，会引入可达±2.2 TECU的建模误差。本文采用短基线站间单差^[1]方法来评估原始电离层估计值的精度，由于电离层延迟的空间相关性，短基线测站的电离层延迟可视为相同。通过站间差分来消除卫星码偏差的影响，不同卫星站间单差电离层的均值可视为站间接收机的码偏差，站间单差电离层的方差即为电离层估计误差，这样可以利用短基线实验来评估电离层估计精度。

消除方程中的先验信息来简化模型，以提高参数估计的性能。卫星坐标从IGS精密星历中获取，参考站坐标固定为已知坐标(对于IGS跟踪站，从IGS周解snx文件中可以获取精确的站点坐标)，卫星钟差从IGS精密钟差产品中获取。对流层延迟干分量利用Saastamoinen模型确定，湿分量利用投影函数mf_r^k(t_n)及天顶对流层延迟Z(t_n)来表示。

假定在历元t_n同时观测到m颗卫星，所有卫星的联合观测方程为：

式中，y_n为观测量；H_n为设计矩阵；x_n为待估参数；υ_n为测量噪声。

观测量y_n中包含了4m个观测值，为原始码和相位观测值减去站星距离、卫星钟差、对流层延迟干分量的差值：

待估参数x_n包含了3m+2个未知量，即接收机钟差、天顶对流层延迟、电离层延迟、模糊度参数。 $\tilde{g}_{r}^{k}\left( {{t}_{n}} \right)$ )中的偏差项被接收机钟差$\delta {{\tilde{\tau }}_{r}}\left( {{t}_{n}} \right)$ 和天顶对流层延迟$\tilde{Z}\left( {{t}_{n}} \right)$ 吸收。

设计矩阵H_n的具体形式为：

式中，⊗为克罗内克积；e₂为各元素均为1的二维列向量；Γ=diag(λ₁,λ₂)为双频波长的二维对角阵；I_m为m维单位阵；m_f为m维对流层投影函数列向量；μ=[μ₁ μ₂]^T为频率平方比例因子二维列向量；0₂为2×2全零阵。

依据式(8)进行卡尔曼滤波参数估计可以求解出各卫星的电离层延迟项 $\tilde{I}_{r}^{k}\left( {{t}_{n}} \right)$ 。有别于标准PPP模型中通过双频电离层无关组合消除电离层延迟的影响，此模型中将电离层延迟作为待估参数进行求解，并采用原始码和相位观测量作为基本观测量，因而称之为非组合PPP模型^[1]。由于PPP的模糊度参数收敛需要0.5~1 h，模糊度收敛之前参数估计精度偏低，这样在处理时段开始时刻以及卫星初始可见的一段时间其待估参数的估计精度低。对于事后处理，可以采用双向Kalman滤波，将正向的滤波结果与反向滤波结果加权组合^[6]，得到最优平滑估计结果。这样，可以在整个观测时段内都获得高精度的估计结果。

本文以开源的RTKLIB软件^[7]为基础进行PPP处理，修改其标准PPP模型为非组合PPP模型，将电离层延迟作为未知参数进行估计，各种误差的修正及处理策略见表 1。精密星历、卫星钟差、卫星和接收机天线相位中心改正模型、基准坐标等从IGS数据产品中获取，卫星观测截止角选为10°，天顶对流层延迟采用随机游走模型估计。

GPS接收机天线不仅可以接收来自卫星的直达信号，还接收机周边环境、建筑物等反射或散射的卫星信号，即多径信号。多径信号对伪距和载波相位测量都会引入误差，是精密定位的一种重要误差源。对于静止的接收机来说，由于GPS卫星运动的周期重复性，卫星和接收机周围任何固定反射物的几何关系在约一个恒星日周期(23小时56分4秒)后重复^{[8, 9]}。利用这一特性，可以通过连续多天的同时段观测消除重复性噪声，即恒星日滤波。由于多径误差难以建模，在观测模型中通常作为测量噪声处理。然而多径误差具有时间相关性，其模型并非为高斯白噪声。对于PPP处理，估计残差中包含了码和相位的多径以及噪声。通过对残差的低通滤波，滤除高频测量噪声后，可以得到多径误差序列。

GPS卫星轨道周期理论上为半个恒星日，地球自转周期为一个恒星日，这样经过1个恒星日后地面与卫星的几何关系重复。然而，由于GPS卫星在飞行过程中收到地球和月球引力场的影响，以及地面控制站的调控，其实际重复周期并非正好为一个恒星日。根据广播星历的轨道参数可以计算重复周期^[8]。

式中，GM(=3.986 005×10¹⁴ m³/s²)为地球引力常数；a_s为卫星椭圆轨道长半轴的平方根；d_n为平均运动角速度的改正量。文献^[8]计算了2006年前100 d的平均周期，得出了重复周期相对于平太阳日(86 400 s)提前约246 s。文献^[11]指出一天内有小部分时段地面站观测到的轨道重复周期有波动，差值可达10 s，在针对波动时段计算轨道周期修正后，定位结果可改善5%左右。本文为简化分析，采用246 s作为平移时间。

恒星日滤波法应用于PPP电离层延迟提取的具体流程如图 1。

图  1  恒星日滤波数据处理流程

Figure 1.  Data Processing Procedure for Sidereal Filtering

1) 对测站连续多天的GPS观测数据进行非组合PPP处理，得到各历元的码和载波相位残差序列。

2) 残差序列通过移动平均法(窗宽为60 s)进行低通滤波，消除高频噪声的影响。

3) 对低采样率的数据在对应偏移时刻(246 s/d)进行Lagrange插值，得到偏移时刻的多径误差改正值。

4) 对前几天的多径误差序列进行多天平均，构建码和相位多径误差改正模型。

5) 用多径误差改正模型修正下一天的观测数据，可以获得经过多径改正后的PPP处理结果。

由于平移时间为246 s，如果是1 Hz高采样率的GPS观测量，可以直接平移。但高采样率的观测也带来以下两方面的问题：① 数据量大，处理时间长，例如24 h的采样率为1 Hz的RINEX观测数据可达100 MB左右^[11]。② 高采样率的观测数据也要求提供对应的高采样率卫星钟差以避免钟差插值误差对定位结果的影响。而当前IGS提供事后精密钟差最高为30 s间隔，CODE最高可以提供5 s采样间隔的精密钟差产品。鉴于此，对于采样频度低于1 Hz的观测数据，可以通过对定位偏差在指定时刻进行Lagrange插值，得到改正序列。插值方法为：

n为插值阶数；x为观测时刻序列；y为偏差序列。通过对定位偏差序列的Lagrange插值，可以将恒星日滤波应用到低采样率的观测数据中，拓宽其应用范围。

选取IGS监测站YARR及YAR3进行分析，观测站信息如表 2所示，两测站间距离20.2 m。首先通过短基线实验评估事后电离层估计的精度，而后选取YARR站为例，以事后电离层估计值为基准，评估应用恒星日滤波改进前后实时电离层估计的精度。观测时段为2012年第309~312天，其中，第312天处理区间为00:00:00开始，第311~309天依次偏移240 s，观测数据采样间隔为5 s。

图  2  短基线站间单差电离层延迟(事后)

Figure 2.  Single-difference Ionospheric Delay Among Short-baseline Stations (Post Processing)

图  3  电离层估计误差(事后)

Figure 3.  Ionospheric Delay Estimation Error (Post Processing)

图 2为2012年第312天YARR-YAR3短基线站间单差电离层延迟(事后)，不同颜色曲线代表不同卫星。根据§1.1的分析，同一时刻各卫星的站间单差电离层的均值为站间接收机码偏差之差，方差(图 3)为电离层估计误差。可见，事后PPP电离层估计的误差在1~3 cm之间(L₁频点)，单站事后电离层估计的结果可以作为实时电离层估计精度评价的基准。

对于YARR站2012年312天的观测数据，以事后电离层估计值为基准，评价恒星日滤波改正前后实时电离层延迟估计精度。图 4(a)为恒星日滤波改正前的电离层延迟估计误差，由图可见，未进行恒星日滤波改正时实时电离层相对于事后电离层存在偏差，而进行恒星日滤波修正后偏差消失。滤波改正后，单天电离层误差的平均值从0.185 m降为0.028 m。另一方面，进行恒星日滤波修正后，卫星由不可见到可见时电离层延迟估计的收敛时间缩短(图 4中各卫星误差曲线的陡峭程度)。

图  4  恒星日滤波改正前后实时电离层估计误差

Figure 4.  Ionospheric Delay Estimation Error Before and After Sidereal Filtering Correction

为进一步量化分析，对电离层误差序列进行统计，从参数收敛后的2:00开始统计每次卫星初始可见到其电离层误差收敛到0.05 m(相对基准为此时已收敛卫星的电离层误差均值)时需要的时间。收敛时间统计结果如图 5所示，总计27次卫星由不可见到可见。改正前电离层估计收敛时间较长，其中26%(7次)需要100 min以上时间才能收敛；改正后，全部在100 min以内收敛，其中90%在50 min以内。改正后，收敛时间的均值由80 min减少为35 min。

图  5  电离层估计收敛时间统计

Figure 5.  Statistics of Ionospheric Delay Estimation Convergence Time

本文利用非组合PPP模型进行单站电离层延迟估计，对于实时电离层延迟提取，由于电离层参数和模糊度参数间的高度相关性，参数估计需要较长时间才能收敛。而测站的多径误差会进一步影响参数估计的精度以及收敛速度。通过事后双向滤波提取各卫星观测量的码和相位残差，利用多天的残差序列以及恒星日滤波建立测站多径误差改正模型对实时观测数据进行修正。应用恒星日滤波修正后，实时电离层估计的精度以及收敛速度均有了明显提高，误差均值由0.185 m减少为0.028 m，收敛时间均值由80 min减少为35 min。单站实时电离层延迟估计的改进，一方面可以提高区域参考网络的电离层延迟建模精度，另一方面，收敛速度的提高可以在更低的仰角获取高精度的电离层延迟量，从而可以增大参考网络的站间距离，减少参考网络的布设密度。依据本文的分析，建议参考站利用恒星日滤波建立测站多径误差改正模型，以提高实时电离层参数估计精度。