大型建筑物在建设和运营过程中易受到多种复杂因素的影响，致使建筑物产生不同程度的变形。由于变形过程与变形监测数据获取的复杂性，变形数据具有显著的多尺度、非线性、高噪声特点^[1]，基于这些特点，如果直接利用变形数据进行变形预测、预警及机理解释难以达到理想的效果，因此，必须开展变形数据特征提取及分析研究，挖掘变形内在规律，为进一步的变形预测、预警及机理解释提供理论基础。

变形特征提取及分析主要包括：①建筑物振动特性参数提取（固有频率、阻尼比参数）；②变形数据中具有特殊意义的分量提取，如各种变形影响因素引起的变形分量提取。这些特征的准确提取可有效提高变形预测、健康评价预警及变形机理解释效果。但由于变形过程与监测数据的复杂性，准确提取变形特征难度较大。当前时间序列数据特征提取及分析方法主要有Kalman滤波、小波分析、经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）等^[2-4]。若采用传统的Kalman滤波或数据平滑的方法对监测数据在时域内进行处理，则无法表示非平稳变形监测信号的频域特征，存在很大的局限性。小波变换作为一种时频分析方法，在时域和频域上都具有良好的局部化特性，已被广泛用于变形特征的提取^[5-8]。但由于小波分解的基函数是固定的，因此小波分解不是自适应的，分解后得到的各个分量失去了本身的物理意义。针对小波变换的局限性，自适应时频分析方法EMD被应用于变形数据去噪及特征提取，去噪及特征提取精度得到一定的改善^[9-10]。但由于EMD采用递归筛分剥离运算方式，因此模态混叠、边界效应等一系列问题没有得到很好的解决。综上所述，目前的特征提取方法在精度和可靠性方面还有待提高。

随着信号处理方法的快速发展，Dragomiretskiy等^[11]提出一种新的信号多尺度时频分析处理方法——变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）。VMD将信号分量的获取过程转移到变分框架内，采用一种非递归的处理策略，通过构造并求解约束变分问题实现原始信号的分解。因此，VMD较EMD、LMD（local mean decomposition）能有效避免模态混叠、过包络、欠包络、边界效应等问题，具有较好的复杂数据分解精度及较好的抗噪声干扰等优点。VMD的这些优势使其在机械故障诊断领域得到较为广泛的应用^[12-13]。鉴于VMD算法在多尺度时频分析方面的优点及变形数据的特点，本文利用样本熵、中心频率比和相关系数改进VMD，建立改进变分模态分解（improved variational mode decomposition，IVMD）算法，应用于变形特征提取及分析，以提高算法的实用性及可靠性。并利用仿真信号、桥梁索塔变形数据验证了VMD方法用于变形特征提取及成因分析的有效性及可靠性。

1 VMD基本原理及改进 1.1 VMD原理

VMD的分解过程即变分问题的求解过程，在该算法中，本征模态函数（intrinsic mode function, IMF）被定义为一个有带宽限制的调幅-调频函数，VMD算法的功能便是通过构造并求解约束变分问题，将原始信号分解为指定个数的IMF分量。假设欲将一个信号分解为K个IMF分量，则相应的变分问题的构造和求解可概述如下^{[11, 14]}：

1）通过Hilbert变换，得到每个模态分量μ_k(t)的解析信号，进而得到其单边频谱：

$ [\delta (t) + \frac{j}{{\pi t}}] \cdot {\mu _k}(t) $

(1)

2）对各模态解析信号预估一个中心频率e^−jω_kt, 将每个模态的频谱调制到相应的基频带：

$ [(\delta (t) + \frac{j}{{\pi t}}) \cdot {\mu _k}(t){\rm{ }}]{\rm{ }}{e^{ - j{\omega _k}t}} $

(2)

3）计算上述解调信号梯度平方L²的范数，估计出各模态信号带宽，受约束的变分问题如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {min}\limits_{\{ {u_k}\} ,\{ {\omega _k}\} } \left\{ {\mathop \sum \limits_k \left\| {{d_t}\left[ {\left( {\delta (t) + \frac{j}{{\pi t}}} \right) \cdot {\mu _k}(t)} \right]{e^{ - j{\omega _k}t}}} \right\|} \right._2^2\\ s.t.\mathop \sum \limits_k {u_k} = f \end{array} \right. $

(3)

式中，{μ_k}代表分解得到的K个IMF；{ω_k}表示各模态对应的中心频率。

为了求解该约束性变分问题，引入二次惩罚因子α和拉格朗日乘法算子λ(t)，将约束性变分问题变为非约束性变分问题。扩展的拉格朗日表达式如下：

$ L(\{ {u_k}\} , \{ {\omega _k}\} , \lambda ) = \alpha \mathop \sum \limits_k \left\| {{\partial _t}\left[ {\left( {\delta (t) + \frac{j}{{\pi t}}} \right) \cdot {\mu _k}(t)} \right]{e^{ - j{\omega _k}t}}} \right\|_2^2 + \left\| {f(t) - \mathop \sum \limits_k {u_k}(t)} \right\|_2^2 + \left\langle {\lambda (t), f(t) - \mathop \sum \limits_k {u_k}(t)} \right\rangle $

(4)

式中，α为二次惩罚因子；λ(t)为拉格朗日乘法算子。其中α可在高斯噪声存在的情况下保证信号的重构精度，通常取拉格朗日算子使得约束条件保持严格性。利用乘法算子交替方向法解决以上无约束变分问题，通过交替更新$\mu _k^{n + 1}$、$\omega _k^{n + 1}$和λⁿ⁺¹寻求扩展拉格朗日表达式的“鞍点”。

1.2 IVMD算法建立

VMD对时间序列数据进行特征提取时，分解模态数K值的确定是关键。若K小于被处理信号中有用成分的个数，会造成数据分解不充分；若K大于被处理信号中有用成分的个数，则会出现过分解现象，产生虚假分量。VMD算法在求解中心频率及模态分量的过程中，中心频率的初值设定对VMD分解结果的影响较大，当前VMD研究较少考虑该因素。

针对VMD的K值确定问题，本文利用样本熵、中心频率比及相关系数合理确定VMD的最优K值（用K_best表示），较好地解决了VMD算法的欠分解及过分解现象，并有效剔除虚假分量。样本熵能有效地表示时间序列的复杂性，越复杂的时间序列对应的样本熵越大^[15]。当VMD较好地提取到复杂混合信号中包含的有效分量信号时，有用的VMD分量对应的样本熵值较小，并且相邻分量的样本熵有显著差异，噪声分量的熵值通常相对较大。当VMD出现过分解现象时，部分相邻分量的样本熵相近。因此，可利用样本熵的以上特点，提取有用VMD分量及分析是否存在过分解问题。当VMD出现过分解时，VMD分量的中心频率接近。因此，可利用相邻中心频率比作为过分解的一个指标，通常将中心频率比大于0.9作为过分解判定标准。利用相关系数可有效分析分量与原始信号的相关性，进而可利用相关系数判定VMD分量是否为有用分量及噪声分量，通常将相关系数小于0.1作为虚假分量及噪声分量剔除标准。对原始信号进行频谱分析，提取能值较为显著的频率作为VMD算法的部分中心频率初值，可提高VMD的分解效率及精度。基于以上方法，本文建立的IVMD算法工作流程如图 1所示。

2 仿真信号特征提取

为了验证IVMD算法的数据特征提取能力及其K值确定的有效性，设计了两种仿真信号进行验证。仿真信号1验证IVMD对加噪声间断信号的特征提取能力，仿真信号2模拟变形数据，验证IVMD在噪声干扰下对周期性变化成分的提取能力。将IVMD分解结果与小波分解(wavelet decomposition，WD)算法、EMD分解进行对比分析，验证IVMD算法特征提取的有效性及可靠性。

2.1 仿真信号1的VMD分解及分析

采用式（5）合成信号y，信号的采样频率为1 000 Hz，并在合成信号上添加信噪比为8的高斯白噪声构成仿真信号1（用y'表示）。y'包括间断信号成分y3，并且包含噪声干扰，可有效验证特征提取方法的抗噪声干扰及间断成分提取能力，具体如图 2所示。

$ \left\{ \begin{array}{l} y1{\rm{ }} = {\rm{ }}7{\rm{cos}}(10\pi t)\\ y2{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{sin }}(100\pi t)\\ y3{\rm{ }} = \left\{ {_{5{\rm{sin}}(500\pi t - 50\pi ), t > {\rm{ }}0.75}^{{\rm{ }}0{\rm{ }}, {\rm{ }}t \le 0.75}} \right.\\ y = y1{\rm{ }} + y2{\rm{ }} + y3 \end{array} \right. $

(5)

确定K_best=3，IVMD的分量为{U1, U2, U3}，如图 2所示。各分量对应的频谱如图 3所示。为了进一步验证IVMD算法特征提取的精度及可靠性，分别用EMD、WD对信号y'进行多尺度分解，比较3种特征提取方法的优劣。分别计算3种分解方法提取的有效分量与其理论值的相关系数R和均方根误差（root mean square error，RMSE），可定量分析算法的分解精度，具体数据见表 1。

由图 2可知，IVMD分解结果的端点效应得到有效抑制。各分量的频谱图显示，在噪声的干扰下，IVMD分解结果没有出现模态混淆现象，并且各分量的振幅、频率和理论值非常接近，表明IVMD方法具有较高的特征提取精度及可靠性，并且具有较好的抗噪能力。利用EMD分解信号y'，产生8个模态分量，理论上只有3个模态分量出现明显的模态混淆现象。通过将各模态分量与y1、y2、y3对比发现，y1、y2、y3分别对应EMD的imf4、imf2、imf1分量，模态混淆问题严重，出现多个虚假模态，并且端点效应明显，导致RMSE指标较差。小波分析选取正交性较好的db10小波进行3层分解，分解层数与IVMD保持一致。通过比较分析，y1、y2、y3与小波的a3、d3、d2分量对应，并且a3、d3分量的频谱图出现多个峰值，表明特征分量提取不充分。由表 1可知，IVMD的R指标略优于EMD，显著优于WD方法；IVMD各分量的RMSE指标显著优于EMD与WD方法，在噪声的干扰下，EMD与WD方法的数据分解精度受到较大影响。因此，表 1结果验证了IVMD比EMD、WD方法具有更好的特征提取能力，有效避免了端点响应、模态混淆问题，具有较好的抗噪能力，能准确提取信号中包含的有效成分，并且较为精确地提取到分量的振幅及频率特征信息。

2.2 仿真信号2分解及分析

采用式（6）合成信号y，采样频率为30 Hz，并添加信噪比为8的高斯白噪声θ生成仿真信号y''，信号波形如图 4所示。y''包含强度较弱的信号y3，在强噪声干扰下，大大提高了弱信号y3的提取难度，可有效模拟并检验IVMD对强噪声背景下变形数据中的弱变形信号提取能力，具体信号见图 4。IVMD确定的最优分解K_best=4，并获得y''信号的分解分量{U1, U2, U3}，利用相关系数判定U4为噪声分量，分解结果见图 4。

$ \left\{ \begin{array}{l} y1{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{cos}}(2\pi t/40{\rm{ }})\\ y2{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{cos}}(2\pi t)\\ y3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.5{\rm{cos}}(7\pi t)\\ y = y1{\rm{ }} + y2{\rm{ }} + y3 \end{array} \right. $

(6)

由图 4可知，IVMD准确地提取了y1、y2成分，并且U1、U2与理论值y1、y2差异非常小。U1、U2、U3分量端点效应影响非常小，没有出现明显的模态混淆现象。IVMD提取到弱信号U3成分，在强噪声θ的干扰下，增加了U3与理论值y3之间的差异，其R指标为0.931，RMSE指标为0.109 8，但总体效果较好。图 5为弱信号分量U3的频谱图。由图 5可知，提取的弱信号U3的振幅、频率与其理论值较为接近，差异主要由于y3信号较弱并且受到强噪声干扰。

利用EMD、WD分别分解y''信号，其R指标、RMSE指标如表 2所示。由表 2可知，IVMD的R指标、RMSE指标均优于EMD、WD，对于弱信号y3，IVMD受噪声干扰较小，提取效果明显好于EMD、WD，验证了IVMD对强噪声干扰下的弱信号提取能力。

3 变形特征提取及分析

变形特征提取是将建筑物的变形特征信息从含噪数据中挖掘出来，是提高变形预测、预警精度的有效途径。以苏通大桥为例，分析IVMD方法对变形特征提取的有效性。苏通大桥位于江苏省东部的南通市和苏州(常熟)市之间，该桥梁结构为双塔双索面斜拉桥，于2008年6月30日建成通车，全长8 146 m，主跨长1 088 m，主索塔高300.4 m，。大桥位于长江下游，每年都会经历长时间的台风期，昼夜温差比较大，各种因素对桥梁的变形产生了较大影响。本文选取北塔X坐标方向（南北方向）采样频率为1 Hz的4 500个全球定位系统（Global Positioning System，GPS）变形监测数据作为案例1。由奈奎斯特定律可知，1 Hz的GPS桥梁索塔变形数据可有效分析0~0.5 Hz的桥梁震动特性，可用于提取桥梁的固有频率及阻尼比特性。选取北塔X坐标方向30 s采样率的14 400个GPS变形监测数据作为案例2，用于提取由温度和其他外界因素引起的变形分量。为避免直流分量干扰分解，实验前先对所有数据进行零均值化处理。

3.1 案例1（桥梁动态特性提取：固有频率、阻尼比参数的提取）

固有频率、阻尼比参数是桥梁健康诊断与预警的核心指标，是变形特征的关键参数。案例1以苏通大桥北索塔X方向的变形时间序列为例，提取固有频率（也叫自振频率）、阻尼比参数，X方向的变形时间序列如图 6（a）所示，对应的频谱图如图 6（b）所示。从图 6（b）中可以看到，GPS监测序列中周期成分的频率主要集中在低频部分，其频率范围为0~0.05 Hz（红框所示），其他频段无明显突出峰值，说明桥梁振动信号完全被噪声所湮没，从原始信号中无法直接分析桥梁的振动特性。

IVMD对GPS变形监测数据进行分解，得到3个变形分量，具体分解结果见图 7。由图 7可知，IVMD将变形数据分解成3个分量，并且U1、U2、U3的频率不存在重复，有效避免了模态混淆问题。U1的频率范围在0~0.05 Hz，属于低频部分，并且能值较高。U2主要包括静态、准静态和多路径效应3部分，主要由风荷载、环境温度变化及观测环境引起的多路径效应引起，其频率范围在0.12~0.23 Hz，并且频谱在0.17 Hz附近有明显的峰值。根据高层建筑结构的基本自振规律（自振周期单位为s，范围为[0.05~0.1]·N，N是建筑物的层数）可计算苏通大桥索塔（高约306 m，N≈102）的自振频率为0.1~0.2 Hz^[7]，因此U2属于桥梁自振部分。U3频率在0.26~0.4 Hz，并且能量较小，频谱没有明显的峰值，因此属于随机噪声。

U2属于自振部分，从中提取固有频率及阻尼比是桥梁健康诊断及预警的关键。利用ITD(the Ibrahim Time Domain Technique)技术可有效估算U2分量的固有频率及阻尼比，确定固有频率为0.17 Hz，阻尼比为2.15%，和当前相关的研究成果较为吻合，验证了IVMD方法提取桥梁固有频率与阻尼比的有效性。当数据采样频率更好时，可有效提取更多阶次与方向的固有频率与阻尼比参数，可用于桥梁健康诊断及预警。

3.2 案例2（变形分量提取及成因分析）

桥梁的变形分量提取及成因分析可用于变形预测及机理解释。案例2中采用北塔X方向5 d的GPS变形监测时间序列，如图 8所示。由图 8可知，变形数据具有显著日周期及趋势项。为了准确提取日周期及趋势项，并且保证其光滑性，IVMD的K=15, 将U1作为日周期及趋势项，其频谱峰值在1 d附近，U1分量曲线图如图 9所示。U1为桥梁受温度及日照影响的变形分量，显示出显著的日周期。当太阳照射大桥南面时，南面混凝土与北面混凝土温差不断增大，这种温差将导致大桥南面混凝土膨胀，北面混凝土收缩，从而使索塔产生扭转变形。进一步观察位移曲线，可发现位移变化的峰值出现在每天16:00左右（图 9中红圈标示），而气温一般在14:00达到最高。产生滞后效应的原因是由于桥梁体积庞大，温度在桥梁内部传递需要一段时间。因此，IVMD能有效提取到桥梁变形的温度分量。

为了进一步分析多路径效应及水流冲击、风荷载（脉动风）等的影响，分别截取前3天IVMD的U2分量，如图 10所示。第1天与第2天的U2分量之间的相关性为0.72，第2天与第3天的U2分量之间的相关性为0.76。根据多路径效应具有周日重复性的特征，即在环境变化不大的前提下，相邻两天的多路径效应相关性较大。因此，U2分量主要是由多路径效应引起。其余分量之间的相关性都小于0.05，并且频率较低，可能主要受到水流冲击、风荷载（脉动风）等环境的综合影响，导致桥梁产生这些变形分量。

4 结语

本文利用样本熵、中心频率比及相关系数确定VMD的最优K值，建立IVMD算法。两个仿真信号特征提取实例表明，在噪声干扰下，IVMD能有效地提取到间断信号分量及弱信号分量，并且提取的所有分量和其理论值十分接近，端点效应及模态混淆问题得到有效抑制，验证了IVMD用于数据特征提取具有较好的精度。

IVMD算法从GPS变形监测数据中能有效提取桥梁索塔振动特性（固有频率、阻尼比），并与相关文献的研究结果吻合度较好。IVMD较为准确地提取了桥梁索塔温度变化、多路径效应及其余变形分量等特征信息，证实了IVMD用于变形特征提取及分析具有较好的有效性及可靠性。