无线电信号的对流层延迟是影响卫星导航定位精度（特别是高程方向）的重要误差源之一。在天顶方向上，影响约为2 m，且随着高度角的降低，延迟将增大至20 m^[1-2]。因此，在全球卫星导航定位系统(global navigation satellite system, GNSS)实际导航定位应用中，需要对对流层延迟进行改正。目前，国际上常用的对流层天顶延迟模型包含两大类：（1）基于实测气象参数型，如Hopfield、Saastamoinen、Black^[3-4]模型；（2）基于周期性的经验模型，如UNB3m模型^[5]、EGNOS (the European geostationary navigation overlay service)模型^[6]、GPT（global pressure and temperature）模型^[7]等。其中，传统的Hopfield模型和Saastamoinen模型的改正精度可达到厘米或分米级，难以满足对流层延迟改正预报应用的要求。例如文献[8-9]对传统模型进行了改进，虽然改进模型相对于传统模型在精度上（尤其是湿延迟）提高了一个数量级，但这些模型在使用过程中需要考虑分段，而且在计算对流层延迟（zenith tropospheric delay，ZTD）的过程中需要大量参数及公式推导，这给模型的推广使用带来了困难。近年来，一些学者研究了天顶对流层延迟时空变化规则特征，主要结论为：在赤道地区，适宜采用年周期加半年周期的特征函数描述对流层天顶延迟的时间变化特征，而在中、高纬地区，采用年周期的特征函数就能较好地描述对流层天顶延迟的时间变化规律^[10-11]，如Li等^[3]顾及到不同测站经纬度的差异建立了三维经验模型IGGtrop，姚宜斌等^[12]建立了基于球谐函数的GZTD（global zenith tropospheric delay）模型。

上述对流层延迟改进模型都是通过对全球大气平均气象资料以及全球气候分析建立的全球范围内的对流层延迟模型。若在局部范围内采用区域气象数据，则此类模型的精度较差，尤其是在中国地区的改正效果较为有限。针对以上问题，本文在Hopfield模型基础上引入年周期和半年周期项，使用最小二乘拟合法建立了适应中国区域的GHop模型，通过对Hopfield模型进行误差补偿达到局部精化的目的，以满足区域对流层延迟改正的精度要求。该方法计算公式简便，对模型的推广以及提高GNSS导航定位的精度和可靠性具有重要的现实意义。

1 GHop模型

消除高程对对流层延迟的影响是研究ZTD建模必须考虑的问题，而Hopfield模型的计算是基于实测气象资料得到的对流层延迟ZTD（H），其数学模型为：

$ \begin{array}{l} {\rm{ZTD}}(H) = 1 \times {10^{ - 6}}{k_1}\frac{{{P_s}}}{{{T_s}}}\frac{{{H_T}}}{5} + 1 \times {10^{ - 6}}\left[ {{k_3} + } \right.\\ \left. {273\left( {{k_2} - {k_1}} \right)} \right]\frac{e}{{T_s^2}}\frac{{{H_w}}}{5} \end{array} $

(1)

式中，k₁、k₂、k₃是一组跟年份有关的气象常数；P_s为测站的气压；T_s为测站的绝对温度；e为测站的水汽分压；H_w为湿对流层顶的高度；H_T为对流层顶的高度。

式（1）中高程的影响通过实测气象参数给予补偿，最终影响可能不明显，因此新模型的建立可忽略高程影响^[13]。在研究ZTD等一些对流层相关参数时，通常假设如果存在趋势性变化特征，则可以将其假设为线性变化。因此，假设对流层延迟是随着时间线性变化的。

考虑到姚宜斌等在建立GZTD模型时的描述^[12]，本文使用年周期和半年周期来描述ZTD，对Hopfield模型公式进行补偿，即：

$\mathrm{ZTD}=\mathrm{ZTD}(H)+a_{1} \cos \left(2 \pi \frac{D-a_{2}}{365.25}\right)+ \\ a_{3} \cos \left(4 \pi \frac{D-a_{4}}{365.25}\right) $

(2)

由于余弦函数的初始相位无法确定，而且进行线性拟合时很难将a₂、a₄求出，因此为保证公式的精确性，本文根据三角函数的辅助角公式将式（2）改为：

$ \begin{aligned} &\mathrm{ZTD}=\mathrm{ZTD}(H)+a_{1} \cos \left(2 \pi \frac{D}{365.25}\right)+\\ &a_{2} \sin \left(2 \pi \frac{D}{365.25}\right)+a_{3} \cos \left(4 \pi \frac{D}{365.25}\right)+\\ &a_{4} \sin \left(4 \pi \frac{D}{365.25}\right)+C \end{aligned} $

(3)

式中，ZTD为维也纳映射函数（Vienna mapping function 1，VMF1）产品提供的高精度格网对流层延迟值；ZTD(H)为Hopfield模型计算得到的对流层延迟；D表示年积日；a₁、a₂、a₃、a₄是与年积日有关的周期性函数的拟合系数值；C为常数项。将式（3）命名为GHop模型。利用最小二乘法确定非线性方程的各项系数和各个测站的最终改进模型方程并验证其精度。限于篇幅，本文对各个测站系数的时空分布特征不作具体讨论和分析。

2 中国区域Hopfield和GHop模型的精度评估分析

为了检验GHop模型是否合理，本文选用2014年中国区域45个站点作为测试点，其数据来自奥地利维也纳大学所提供的丰富的对流层产品。全球大地测量观测系统(global geodetic observing system，GGOS)分析中心是基于欧洲中期天气预报中心40 a再分析资料所提供的数据，其具有连续性且覆盖范围大的优点。DORIS (Doppler orbitography and radio-positioning integrated by satellite)站点分布如图 1所示。对Hopfield模型和GHop模型计算的ZTD进行内符合检验，以平均偏差和均方根（root mean square, RMS）作为模型比较分析验证的基本标准。其中，偏差表示准确度，即模型计算值与VMF1产品格网真值的偏离程度；RMS表示精度，用于衡量模型的可靠性和稳定性^[2]。本文对模型偏差和RMS在时空上的分布特征进行了统计分析。

2.1 偏差和RMS在时间上的分布特征 2.1.1 日平均偏差和RMS变化特征分析

为了分析Hopfield和GHop模型偏差和RMS每天的变化情况，按年积日将各个测站的残差值进行统计。图 2显示了2014年中国地区分布在不同方位的4个测站（东部的AIRA站、西部的HYDE站、北部的URUM站以及南部的PBRI站）的偏差和RMS日均变化值，其他测站日均偏差和RMS的变化大体相似，此处不再一一给出。

由图 2可以看出，Hopfield模型的日均偏差和RMS均呈现明显的夏季高峰期的周期变化特性，这是因为夏季降水较多，水汽变化较剧烈，其日均偏差和RMS变化幅度相对较大。可见，未加入年积日的Hopfield模型公式仍存在很大的改进空间，而加入周期项的GHop模型对Hopfield模型的精度偏差起到较大的修正，其日均偏差和RMS变化较小且平稳，无明显的周期项，即使在夏季也未出现大的波动，说明GHop模型修正效果明显。

2.1.2 月平均和季度偏差及RMS变化特征分析

为了分析Hopfield和GHop模型的偏差和RMS在季节和月度上的变化特征，将中国区域45个站点2014年的偏差和RMS分别进行月度统计和季节统计，统计结果分别如图 3和表 1所示。

图 3表明，中国区域Hopfield模型计算的ZTD的偏差有明显的夏季高峰期的季节效应，且在8月份达到最大负偏差，说明在中国夏季水汽变化较大，使用Hopfield模型计算的ZTD低于格网ZTD；RMS也在夏季月份明显增加，在8月份达到最大值，为52.4 mm，在其他季节变化相对渐进。而GHop模型的月均偏差和RMS均没有明显的季节性变化，其精度比Hopfield模型有较大提高，RMS在7、8月份提高的百分比为47%，平均减小量达到24 mm。

由表 1可以看出，同样地，Hopfield模型的偏差和RMS也在夏季达到最大，在冬季最小；而GHop模型的偏差在秋季最大，冬季最小，RMS在夏季最大，冬季最小。

2.1.3 年均偏差及RMS变化特征分析

中国地区45个测站年均偏差和RMS统计如图 4所示。由图 4可知，在中国西部和北部高纬度地区，Hopfield模型年均偏差和RMS变化相对较小；东部和南部沿海地区因为受海洋气候的影响，且处于海陆交界处，水汽变化较剧烈，所以年均偏差和RMS变化较大。而对于GHop模型，其偏差在中国地区非常小，新模型获取的ZTD几乎和格网ZTD一致，校正效果极好；在不同地区的RMS与Hopfield模型相比，整体上提高了28%，尤其在东部沿海地区，例如AIRA测站、CUSV测站等，RMS提高了65%以上，取得了满意的结果。

为进一步分析两模型计算的ZTD精度，本文将45个GGOS测站进行年均偏差和RMS统计分析。从表 2可以看出，Hopfield模型在中国地区年均偏差和RMS分别为－11.06 mm和37.13 mm，而GHop模型为－0.01 mm和24.52 mm，无论是总偏差还是RMS均比传统的Hopfield模型效果好，同时该模型能够更好地表达对流层延迟的非线性变化过程。因此在中国地区，GHop模型足以满足广大GNSS导航定位用户对对流层天顶延迟改正的需要。

2.2 年均偏差和RMS在空间上的分布特征

中国地形复杂，起伏较大，ZTD变化与测站的高程密切相关，因此需要分析Hopfield和GHop模型年均偏差和RMS在高程上的变化特征（见图 5(a)、5(b)）。由图 5(a)、5(b)可以看出，随着高程的增加，45个测站的Hopfield和GHop模型年均RMS总体上呈减小的趋势，但Hopfield模型的精度在不同高程处变化较大且不稳定；除个别测站外，在不同高程变化范围，GHop模型的精度都保持在40 mm以内，同时其偏差都趋近于0，说明改进的Hopfield模型计算获取的ZTD近似等于格网ZTD。

从不同纬度比较两模型的精度，其年均偏差和RMS分别如图 5(c)、5(d)所示。可以看出，随着纬度的递增，两种模型的年均RMS均呈下降趋势。在北纬40°范围内的中低纬度地区，GHop模型的RMS相较于Hopfield模型有了很大改善，基本上提高了50%；而在大于40°的高纬度地区，两种模型的RMS稳定在20 mm以内，GHop模型的改进效果并不是很明显，这可能是因为这些地区的测站多分布于内陆，受海洋气候影响较小，水汽变化不明显。Hopfield模型偏差随着纬度的递增并没有明显的变化趋势，但在40°以上高纬度地区，偏差陡然减少，说明Hopfield模型在高纬度地区改正效果相对较好。同样，GHop模型偏差在不同纬度地区具有较高精度，其适用性较好。

从以上分析可知，GHop模型精度更高且更稳定，能够适应不同纬度和高度的变化。因此，该模型可作为中国地区单站实时对流层改正模型。

为了进一步分析GHop模型的改正精度，利用探空数据获取测站上空的温度、气压、水汽压^[14]，可以直接计算得到精确的对流层延迟值ZTD^[13-17]，本文使用中国区域76个无线电探空站2010年的探空数据ZTD产品进行外符合检验。

表 2给出了两种模型使用GGOS和探空数据计算对流层延迟产品检验的误差统计结果。可以看出，使用探空数据时，GHop模型的平均偏差为0.60 mm，相对于Hopfield模型的平均偏差有了显著改进；GHop模型的RMS为22.28 mm，相对于Hopfield的33.18 mm，提高了32.85%，进一步说明改进的Hopfield模型在稳定性和可靠性上都有了一定程度的提高。

3 结语

本文在分析了中国区域对流层延迟的变化规律后，建立了顾及年周期和半年周期的中国区域的GHop模型，提高了Hopfield模型的精度和稳定性。

Hopfield模型偏差和RMS在时间上呈现明显的季节变化规律，本文对单站进行拟合的GHop模型偏差和RMS变化较小且稳定，内符合精度较传统模型提高了28%，尤其在中国西部和北部的高纬度地区。同时，使用76个无线电探空站进行外符合检验的统计结果的平均精度也高于Hopfield模型。由于Hopfield模型受季节性影响严重，因此GHop模型引入了年周期和半年周期项，其偏差的周期性明显削弱，尤其在夏季和低纬度沿海地区，对Hopfield模型的修正效果最好，精度提高了60%以上。除受季节性影响外，中国地区还受地理因素的影响，GHop模型不论从纬度还是高程方面，其精度都比Hopfield模型的精度高，且变化幅度小，适应性强。因此，本文建立的GHop模型可以作为实施ZTD的改正模型。