20世纪80年代以来，常规天体测量与大地测量甚长基线干涉测量（very long baseline interferometry，VLBI）技术观测波段设置为S、X双频，中心频率分别约2.3 GHz、8.4 GHz。S波段主动发射技术在导航、通信等应用领域的普及对VLBI在S波段的被动接收造成了越来越严重的干扰, 加之电子技术的长足发展和对VLBI产品需求精度的日益提高，因此国际上提出了VLBI2010技术规范^[1]。佘山13 m口径射电望远镜为新一代天体测量与空间大地测量VLBI测站^[2]配备有2~14 GHz宽频和X/Ka双频接收系统，方位最高旋转速度设计为12°/s、俯仰6°/s，可实现快速换源、完成对空间的密集实测采样，有利于大气附加延迟的参数化实测修正。目前，该射电望远镜正在进行设备测试和系统联调，即将投入运行。

本文解析了佘山13 m口径射电望远镜的指向扫描数据，包括指向扫描与解析流程、测量功率峰值拟合、测量功率积分时间的影响分析、指向改正模型的拟合参数设置等。所得指向改正模型是望远镜后续系统改进与调试的依据，也是效率等系统指标测试的前提。数据解析模型和处理流程的优化与固化可用于系统投入运行后的日常指向精度检核，还可供类似工程测量参考。

1 指向扫描与解析流程

指向精度是射电望远镜性能的重要指标之一，一般要求好于最高配置频率波束宽度的1/10。对于佘山13 m口径射电望远镜，Ka波段32 GHz时的指向精度约为18 as。在射电望远镜的设计、加工和安装调试过程中，一般均要求尽量确保方位俯仰座架下的方位轴与俯仰轴垂直、电轴与天线几何轴重合等。但由于机械加工与安装误差、器件电性能缺陷以及重力形变、温差变化等因素的存在，都会降低望远镜的指向精度。因而在投入运行之前，必须标定望远镜的指向并建立指向改正模型。

检测和标定望远镜指向是一个逐步优化的过程，须统筹多种因素的复杂影响，可以从机械结构、几何与光路等角度逐项开展检测^[3-9]，也可藉由信标塔、经纬仪和北极星实测等进行综合标定^[10-11]。常用的综合标定方法为人造卫星法与河外射电源法^{[8, 10, 12-16]}。计算给定时刻测量目标的引导指向（如地平式的方位、俯仰），控制望远镜在理论指向附近扫描并确定最大接收功率处的实际指向，进而获得实测指向与引导指向之差，以此作为实际指向的修正。

人造卫星法的测量信噪比高，抗干扰能力强，但缺点是天区覆盖不佳，局限于卫星信道的频率覆盖，只能作为望远镜指向的初步改正。与之对应，河外射电源法的信噪比较低、易受外界干扰，但全天覆盖性与频率覆盖性俱佳，可实现望远镜指向的全天区高精度标定。

河外射电源标定方法下的典型方式为十字扫描^{[8, 15]}，可事先制定扫描方案，程控完成扫描和数据采集，具有集系统合理、快速便捷于一体的鲜明特点。根据观测频率设置，选定结构简单、流量强的河外射电源^[17]，引导望远镜以方位增加、方位减小、俯仰增加、俯仰减小共4种模式扫描河外射电源，依次表示为Az+、Az-、El+、El-。前两种模式下保持俯仰（E）不变，后两种模式下保持方位（A）不变。以设定速率采集和记录扫描过程中的引导指向、实际指向和测量功率。经数据解析，获得各扫描模式下望远镜实际指向与引导指向之差，并经全天扫描与数据拟合获得望远镜指向改正模型，标定指向精度。

2 测量功率峰值拟合

射电望远镜对河外射电源射电辐射的响应为方向图与亮温分布的卷积，瞬时实测功率为此卷积的空间采样^{[15, 18]}。Az+等单一扫描模式下，理想的实测功率为高斯分布。但因机械、控制、采样等不确定性以及重力形变、气象变化等因素的影响，实测功率曲线存在不同程度的扭曲和附加噪声，对判定功率峰值带来困难。文献[15]采用e指数叠加三次多项式的曲线拟合模型。基于2018年9月14日佘山13 m口径射电望远镜指向扫描实测数据的多种拟合尝试，本文采用调幅e指数附加线性项的拟合模型：

$P\left( x \right) = \left( {{b_1} + {b_2}x} \right){\rm{exp}}\left[ { - \frac{{{{\left( {x - {b_4}} \right)}^2}}}{{2b_3^2}}} \right] + {b_5} + {b_6}x$

(1)

式中，P为测量功率；x为引数（方位或俯仰）；${b_i}\left( {i = 1, 2 \cdots 6} \right)$为拟合参数。P的最大值对应于x=b₄，即最大功率处的望远镜引导指向或实测指向。

式(1)的模型特点为：由e指数的参数化系数吸收功率曲线的左右不对称，由线性项吸收功率曲线的平移和倾斜。如图 1所示，Obs、Cmd、FitO、FitC分别表示测量值、引导值、对测量值的拟合、对引导值的拟合，OMC为功率峰值对应的实测指向与引导指向之差。从图 1可见，Obs、Cmd的曲线峰值左右不对称，且存在一定的峰值平移和曲线倾斜，但拟合情况良好。扫描数据总体拟合效果为：在单一扫描模式点数大于10、曲线单峰值的情况下，拟合成功率接近100%。要求单一扫描模式下有足够的点数，是为了保障有足够的方程数解算6个未知数。当曲线非单峰时，说明扫描并非一次性通过源的辐射中心。

3 功率积分的影响分析与检验

功率计的每次输出是采样时刻之后设定时间内的接收功率积分，以此保障有足够的信噪比^[8]。以某次十字扫描的方位扫描为例，Az+模式时，输出功率的对应方位较之于标称方位偏右、偏大；Az-模式时，则偏左、偏小。假设该十字扫描处的望远镜方位指向偏差为${\rm{\Delta }}A$，因功率积分造成的偏差恒定为${\rm{ \mathsf{ δ} }}A$，且实测方位与引导方位之差在Az+、Az-模式下分别为OMC_Az+、OMC_Az-，则${\rm{ \mathsf{ δ} }}A$=0时（即为瞬时功率采样），有${\rm{\Delta }}A = {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az + }}}} = {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az - }}}}$。一般地，

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} + }} = {\rm{\Delta }}A + {\rm{ \mathsf{ δ} }}A}\\ {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} - }} = {\rm{\Delta }}A - {\rm{ \mathsf{ δ} }}A} \end{array}} \right.$

(2)

进而，

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}A = \left( {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} + }} + {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} - }}} \right)/2}\\ {{\rm{ \mathsf{ δ} }}A = \left( {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} + }} - {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{Az}} - }}} \right)/2} \end{array}} \right.$

(3)

类似地，当为El+、El-模式时，有：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}E = \left( {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{El}} + }} + {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{El}} - }}} \right)/2}\\ {{\rm{ \mathsf{ δ} }}E = \left( {{\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{El}} + }} - {\rm{OM}}{{\rm{C}}_{{\rm{El}} - }}} \right)/2} \end{array}} \right.$

(4)

其中，${{\rm{ \mathsf{ δ} }}E}$、${{\rm{\Delta }}E}$以及OMC_El+、OMC_El-的意义类推。

为检验测量功率积分时间的影响，对本次指向扫描实测数据进行测量功率峰值拟合，确定各次扫描4种模式下的OMC_Az+、OMC_Az-和OMC_El+、OMC_El-，进而由式(3)、式(4)确定各次扫描的方位差${\rm{ \mathsf{ δ} }}A{\rm{cos}}E$、俯仰差${{\rm{ \mathsf{ δ} }}E}$，扣除均值后如图 2所示，可见基本为正态分布。这说明功率积分在单次扫描中所造成的指向偏差是基本恒定的，如式(3)、式(4)所得${{\rm{\Delta }}A}$、${{\rm{\Delta }}E}$，即望远镜实测指向与引导指向之差，基本排除了功率积分的影响。

4 指向改正模型拟合 4.1 8参数模型

由式(3)、式(4)获得${{\rm{\Delta }}A}$、${{\rm{\Delta }}E}$后，全天拟合通常采用8参数模型^{[8, 15, 19]}，即：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }}A = {C_1} + {C_3}{\rm{tan}}E{\rm{cos}}A + {C_4}{\rm{tan}}E{\rm{sin}}A + }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;{C_5}{\rm{tan}}E - {C_6}/{\rm{cos}}E}\\ {{\rm{\Delta }}E = {C_2} - {C_3}{\rm{sin}}A + {C_4}{\rm{cos}}A + {C_7}{\rm{cos}}E + }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;{C_8}/{\rm{tan}}E} \end{array}} \right.$

(5)

式中，C₁为方位编码器零点差；C₂为俯仰编码器零点差；C₃、C₄描述方位轴倾斜；C₅描述方位轴与俯仰轴不正交；C₆为准直差（即电轴与俯仰轴不正交）；C₇描述重力形变；C₈描述大气残余折射。

采用8参数模型对本次指向扫描数据解析，所得拟合结果如表 1所示，可见准直差C₆相对显著（参数序号1, 2…8分别对应C₁, C₂…C₈，下同）。

方位差${\rm{\Delta }}A{\rm{cos}}E$、俯仰差${{\rm{\Delta }}E}$及拟合残差${R_{{\rm{\Delta }}A{\rm{cos}}E}}$、${R_{{\rm{\Delta }}E}}$的分布分别如图 3、图 4所示，源数即拟合点数，标准方差（1σ）即一维指向误差。可见，拟合残差的分布具有明显结构，拟合效果一般。二维指向误差偏大，$\sqrt {R_{{\rm{\Delta }}A{\rm{cos}}E}^2 + R_{{\rm{\Delta }}E}^2} $约为29.7 as。

4.2 22参数模型

如表 1所示，对于佘山13 m射电望远镜来说，相对最为显著的准直差约为7 × 10^-4rad。虽然式(5)仅为各误差效应的一阶近似，但因量级较小，并无必要考虑各效应的高阶泰勒展开^[20-21]。实践中也可尝试其他方法，如广义延拓插值^[22]、四元数旋转变换^[23]以及22参数模型。其中22参数模型如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta A = {C_1} + {C_3}\tan E\cos A + {C_4}\tan E\sin A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_5}\tan E - {C_6}/\cos E + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{12}}A + {C_{13}}\cos A + {C_{14}}\sin A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{17}}\cos 2A + {C_{18}}\sin 2A\\ \Delta E = {C_8}/\tan E + {C_9}E + {C_{10}}\cos E + {C_{11}}\sin E + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{15}}\cos 2A + {C_{16}}\sin 2A + {C_{19}}\cos 8E + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{20}}\sin 8E + {C_{21}}\cos A + {C_{22}}\sin A\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{20}}\sin 8E + {C_{21}}\cos A + {C_{22}}\sin A \end{array} \right. $

(6)

采用式(6)的22参数模型对本次扫描数据进行解析，解算结果如表 2所示，可见部分参数（如第2、7、9号参数等）的不确定性范围异常偏大，表明法方程条件欠佳。对应的二维指向误差约为19.0 as。

4.3 模型参数设置的讨论

从式(6)可见，第7与10、第3与22、第4与21号参数存在相关，因而法方程奇异^[24]，参数解的不确定性范围较大，这是必然的。为此参照表 2，对式(6)中第10、21和22号参数予以屏蔽（即不求解），试算表明，第2、7、9、11号参数仍存在一定的相关性。进一步屏蔽第9号参数，结果表明，第2、7、11号参数不确定范围仍相对偏大。继续屏蔽第11号参数，则表明参数误差范围正常，所得二维指向误差约19.3 as。可见，虽然相对于式(6)减少了5个参数，但并未显著影响拟合效果，因而参数屏蔽具有合理性。此时，式(6)所示的方位差、俯仰差表达式中已包含了方位的1倍、2倍周期项，为此尝试增加方位的3倍周期项，具体为：修改第21、22号参数为俯仰差关于方位的3倍周期项，增加第23、24号参数为方位差关于方位的3倍周期项。试算表明，参数拟合情况正常，俯仰拟合残差分布有显著改善，但方位拟合残差仍存在明显结构。保持俯仰差表达式不变，继续对方位差尝试增加方位的多倍周期项及多种周期项组合，并综合考察拟合残差分布与指向误差情况。针对本次指向扫描数据，最终的选定模型为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta A = {C_1} + {C_3}\tan E\cos A + {C_4}\tan E\sin A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_5}\tan E - {C_6}/\cos E + {C_{12}}A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{13}}\cos A + {C_{14}}\sin A + {C_{17}}\cos 2A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{18}}\sin 2A + {C_{23}}\cos 5A + {C_{24}}\sin 5A\\ \Delta E = {C_8} - {C_3}\sin A + {C_4}\cos A + {C_7}\cos E + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_8}/\tan E + {C_{15}}\cos 2A + {C_{16}}\sin 2A + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{19}}\cos 8E + {C_{20}}\sin 8E + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{C_{21}}\cos 3A + {C_{22}}\sin 3A \end{array} \right. $

(7)

综上，对式(6)的22参数模型屏蔽第9至11号参数，将第21、22号参数修改为方位的3倍周期项，对方位差增加方位的5倍周期项，对应于第23、24号参数。实际解算参数共21个，为便于比较，仍保留式(6)的参数编号，将其称作21参数模型。

将此参数调整后的新模型进行拟合，所得参数解如表 3所示。从表 3可见，参数不确定范围相对较小，表明法方程求解条件是较为稳定的。另外，与表 1的结果进行比较可见，除1号参数之外，第2至8号参数拟合值均非常接近，表明拟合结果是稳定和可靠的。1号参数对应于方位编码器的零点差，考虑到式(7)相对于式(5)在方位差中增加了数个周期项，周期函数的初始相位拟合值可以吸收一部分零点差，因而1号参数的拟合值相差较大，这是可以理解的。

21参数模型的拟合残差分布情况如图 5、图 6所示，相比于图 3、图 4有明显改善。指向误差如图 7所示，源数为199，标准偏差（σ）约17.8 as，相比于式(5)、式(6)的结果均有所改善，说明模型参数调整是有意义的。

5 结语

建立指向改正模型并评定指向精度，这是射电望远镜投入运行之前必须进行的工作。指向改正模型既是望远镜系统调整优化的依据，也是系统指标测试和观测目标跟踪的保障，而指向精度则直接决定了望远镜的最高有效覆盖频率。本文针对佘山13 m射电望远镜指向扫描数据，尝试了拟合确定测量功率峰值的新模型，显著提高了拟合成功率和数据利用率。通过实测数据检验，表明对功率测量积分时间的处理是合理和有效的。

8参数指向改正模型的每一项都具有明确的物理意义，但并非对所有望远镜都必须显著，也难免存在其他误差因素。实测数据分析表明，对于佘山13 m射电望远镜，8参数模型拟合后的残差分布中仍存在显著结构。为此提出了21参数模型，验算表明了参数解的稳定性与可靠性，并有效提高了望远镜的指向精度，确保能够覆盖Ka波段32 GHz观测。2018年9月至2019年5月，多次迭代扫描实践也证明了21参数模型的适用性。

通常意义下，参数越多，则拟合残差越小。只要参数拟合值是稳定的，则表明是有意义的。对于有限参数的指向改正模型，比如8参数和21参数，在现代科技条件下，不存在显著的计算时间差别。虽然不一定了解各参数的物理背景，只要有利于降低指向误差，则增加几项参数是完全可以接受的。

依据实测数据分析，本文针对测量功率峰值拟合、功率测量积分时间的影响、指向改正模型的参数设置等问题进行了讨论，所得结论可作为佘山13 m射电望远镜后续系统改进与指标测量的依据，也可供类似工程测量参考。