全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS）载波相位是一种右旋极化电磁信号(right-hand circular polarization, RHCP)。当发射天线和接收天线绕极化轴方向发生相对旋转时，测量的载波相位值会发生变化，这个现象称为相位缠绕^[1-2]。相位缠绕的整周数部分可以被整周模糊度吸收，其不足整周的小数部分能产生数个厘米的误差。当天线只绕其极化轴旋转时，相位缠绕误差对各卫星的相位观测值影响均相同，在定位算法中和接收机相位钟差耦合而被吸收。因此在静态短基线测量以及实时动态（real-time kinematic，RTK）测量中，通常忽略相位缠绕的改正^[3]。当天线旋转方向与极化轴方向不一致时（即发生倾斜摆动），如汽车过拱桥、飞机起飞和转弯时，载体和固联其上的GNSS接收天线姿态经常变化，每颗卫星的相位缠绕在天线旋转且摆动的情况下并不相同，且不再被接收机相位钟差完全吸收^[3]。如果在定位解算模型中不予考虑，将会在定位解算中造成残余误差。一般情况下载体的姿态信息难以精确获得，因此一些开源软件的双差模型算法设计仅将Wu等^[2]提出的相位缠绕计算公式中的接收天线矢量视为与当地水平坐标系（local level system，LLS）重合来进行处理。因此本文将重点研究天线姿态变化时双差相位缠绕的影响。

Wu等^[2]在1993年根据圆形极化波电磁场电压理论详细推导的相位缠绕理论公式，被广泛应用于天线水平放置测量时的场景，但目前鲜有学者分析天线在任意姿态下的相位缠绕。Wu等^[2]还分析了两条长度分别为4 300 km和480 km的长基线，证明了地球曲率造成的天线朝向不同，会导致中长基线中的双差观测值不能消除相位缠绕。因此本文推断，在短基线定位中，如果两个天线的极化轴朝向不同，此场景将与Wu等^[2]分析的长基线场景相似。Beyerle^[4]在2009年分别推导了GNSS直射信号和反射信号相位缠绕公式，并利用仿真信号计算得出相位缠绕在直射和反射间的差异达到数个厘米。Banville等^[5]、易文婷等^[6]、张帆等^[7]均分析了天线旋转对动态精密单点定位(precise point positioning，PPP)的影响，其中，Banville等^[5]还提出了用双钟差模型来吸收相位缠绕的影响，实验分析表明，天线仅水平旋转时相位缠绕对PPP位置解没有影响。Langley等^[8]详细阐述了相位缠绕对动态相对定位的影响，并用3D旋转平台设计了不同的天线旋转方式，采用单差和双差观测值残差来分析相位缠绕，研究结果表明，当平台自转轴和天线自转轴不一致时会产生厘米级的缠绕误差。但是，该研究并没有将天线相位中心变化(phase center and variations, PCV)误差和多路径误差从中分离。蒋振伟等^[9]利用相位缠绕误差的特性估计天线旋转速率, 在静态条件下，天线水平旋转速率估计精度可以达到0.5°/s。

本文首先回顾了Wu等^[2]推导的直射信号相位缠绕公式，给出了任意姿态下附加外部姿态信息的相位缠绕改正公式。然后分析了顾及相位缠绕的双差模型，从观测域残差分析出天线相位缠绕变化规律。利用机械臂旋转控制平台设计了3种天线旋转方式研究不同天线姿态产生的双差相位缠绕残差，并对比分析了相位缠绕改正公式计算值与观测域残差的一致性，统计了经过相位缠绕改正后的短基线定位坐标的均方根误差(root mean square error, RMSE)。最后按照Wu等^[2]给出的长基线场景双差示例模拟了短基线的天线倾斜角度，探讨了两者引起相位缠绕误差的等效性。

1 相位缠绕误差

GPS卫星轨道高度距地心约2.6万km, 其信号传播到地面上的接收天线的天底角范围是0°（卫星在天顶方向）至13.9°（卫星在地平方向）。在此范围内，左旋信号占右旋信号比例小于2.5%^[4]，因此在大多数应用情形下，接收到的相位信号可以视为纯右旋信号。假设发射天线和接收天线为正交偶极子对，如图 1所示，一个交叉偶极子对是由两个垂直正交的偶极子S^X和S^Y组成，其相位差为π/2。发射天线的极化轴方向S^Z = S^X × S^Y得出，S^X、S^Y、S^Z符合右手法则的标准正交坐标系。根据卫星姿态控制理论，其孔径方向S^Z始终指向地心^[10-11]。同理，地面接收天线极化轴方向由R^Z = R^X × R^Y得到。图 1中K为卫星至接收机的单位矢量。

当发射信号为纯RHCP时，根据有效偶极子的几何影响，相位缠绕的小数部分$\tilde \phi $由下式计算^[2]：

$\tilde \phi = {\rm{sign}}\left( \mathit{\boldsymbol{\xi }} \right){\rm{arccos}}\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{D}} \cdot \mathit{\boldsymbol{D}}'}}{{||\mathit{\boldsymbol{D}} ||\cdot ||\mathit{\boldsymbol{D}}'||}}} \right)$

(1)

$ \mathit{\boldsymbol{D}}' = {\mathit{\boldsymbol{S}}^X} - \mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{K}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{S}}^X}} \right) - \mathit{\boldsymbol{K}} \times {\mathit{\boldsymbol{S}}^Y} $

(2)

$ \mathit{\boldsymbol{D}} = {\mathit{\boldsymbol{R}}^X} - \mathit{\boldsymbol{K}}\left( {\mathit{\boldsymbol{K}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{R}}^X}} \right) + \mathit{\boldsymbol{K}} \times {\mathit{\boldsymbol{R}}^Y} $

(3)

$\mathit{\boldsymbol{\xi }} = \mathit{\boldsymbol{K}} \cdot \left( {\mathit{\boldsymbol{D}}' \times \mathit{\boldsymbol{D}}} \right)$

(4)

式中，D′、D分别为卫星和接收机天线的有效偶极矢量；S^X、S^Y分别为卫星本体坐标系中的X轴和Y轴在地固系下的单位矢量；R^X和R^Y为接收天线固定坐标系（antenna-fixed coordinate system, AFCS）的北方向和东方向在地固系下的单位矢量；sign为取符号运算符。完整的相位缠绕改正Δϕ是由其上个历元和本历元的小数部分共同组成：

$ {\rm{\Delta }}\phi = 2{\rm{ \mathsf{ π} }} \cdot {\rm{ROUND}}\left( {\frac{{{\rm{\Delta }}{\phi _{{\rm{prev}}}} - \tilde \phi }}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \right) + \tilde \phi $

(5)

式中，ROUND（）为四舍五入函数；Δϕ_prev为前一个历元的相位缠绕改正值。假设采样率足够高，其在前后两个历元间相位变化不超过180°。此处的符号法则是为了使Δϕ为正值，其对于计算的相位值与增加的几何距离产生相同的效应。

在大多数的应用场景中，通常的相位缠绕改正算法是将上述公式中的R^X、R^Y、R^Z转换到当地水平坐标系的东（east，E）、北（north，N）、天顶(up, U)方向。但是如果顾及到动态情况，天线会发生旋转和倾斜摆动，必须利用外部天线姿态信息将R^X、R^Y、R^Z转换到天线固定坐标系下。天线固定坐标系定义为右手坐标系，其Y轴为天线北刻度方向，X轴指向天线平面东方向，Z轴按右手法则垂直于XY平面。如图 2所示，用航向角y、俯仰角p和横滚角r描述天线固定坐标系相对于当地水平坐标系的姿态，与此对应的旋转轴分别为偏航轴、俯仰轴和横滚轴。航向角为AFCS的Y轴与LLS北方向的夹角，绕Z轴正方向逆时针旋转为正。俯仰角为AFCS的XY平面与当地水平面的夹角，绕X轴正方向逆时针旋转为正。横滚角为沿AFCS的Y轴正方向旋转角度，逆时针旋转为正。3个姿态角的取值范围如下：航向角为-180°~180°，俯仰角为-90°~90°，横滚角为-180°~180°。

将R^XYZ = (r^E，r^N，r^U)转换到AFCS下，需要3步旋转：

$ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{\rm{AFCS}}}} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_Y}\left( r \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_X}\left( p \right){\mathit{\boldsymbol{R}}_Z}\left( y \right){\mathit{\boldsymbol{R}}^{\mathit{\boldsymbol{XYZ}}}} $

(6)

式中，涉及到的旋转矩阵如下:

2 顾及相位缠绕的双差数学模型

本文主要研究相位缠绕对双差残差的影响，记参考站A对i星的f频点载波相位观测方程为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _f}\phi _A^{i, f} = \rho _A^i + c \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}{t^i} - c \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}{t_A} + {\lambda _f} \cdot W_A^i - }\\ {{\lambda _f} \cdot N_A^{i, f} - I_A^{i, f} + T_A^i + {\varepsilon _A}} \end{array}$

(7)

式中，ϕ_Aⁱ为A测站对i卫星的相位观测值；f为频率；λ为波长；ρ_Aⁱ为A测站天线相位中心到i卫星相位中心的几何距离；δ_tⁱ为卫星钟差；δt_A为A测站接收机钟差；W是以周为单位的相位缠绕；N_A^i，f为整周模糊度；I_A^i，f、T_Aⁱ分别为电离层延迟和对流层延迟；ε_A为多路径噪声。为了消除坐标等与相位缠绕无关的量，在频率f=1、2上组成无几何距离(geometry free, GF)组合：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Phi} _A^{i, {\rm{GF}}} = {\lambda _1}\phi _A^{i, 1} - {\lambda _2}\phi _A^{i, 2} = \left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right) \cdot W_A^i - }\\ {\left( {{\lambda _1}N_A^{i, 1} - {\lambda _2}N_A^{i, 2}} \right) - I_A^{i, {\rm{GF}}} + \varepsilon _A^{{\rm{GF}}}} \end{array}$

(8)

同理可以得出流动站B的无几何距离组合。

利用具有高通滤波特性的单差模型可以消除式（8）中短基线共同的误差项：电离层误差和由于卫星本身运动所引起的空基相位缠绕^[11]部分。GF组合站间单差观测值可以写成如下表达式：

${\rm{\Delta }}\mathit{\Phi} _{AB}^{i, {\rm{GF}}} = \left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)\left( {W_A^i - W_B^i} \right) - \left( {{\lambda _1}\nabla N_{AB}^{i, 1} - {\lambda _2}\nabla N_{AB}^{i, 2}} \right) + \nabla \varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}}$

(9)

式中，模糊度项${\lambda _1}N_{AB}^{i, 1} - {\lambda _2}N_{AB}^{i, 2}$理论上在无周跳的情况下为常量。$\nabla \varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}}$包含了接收机噪声和低频信号组合噪声，由误差传播定律可以计算得到约为7 mm。由于基准站静止而流动站天线姿态不断变化，式（9）中的第一项将会产生以${\lambda _1} - {\lambda _2}$为系数的变化量。通过对式（9）积分，可以得到一段时间内的相位缠绕积累变化量。但由此式不能得到初始的相位偏差值，仅可以得到相位缠绕值的积累量。在实际实验中，可采用相同类型的天线以减小天线相位中心不一致的影响；采用超短基线削弱电离层和对流层的影响；选择观测条件开阔的地点观测以减小多路径的影响。从式（9）可以推断出，假设前后历元流动站天线旋转了一周，则其对应的相位单差GF组合理论上应该产生${\lambda _1} - {\lambda _2} \approx - 54$ mm的变化。

对于RTK动态测量，为了消除接收机钟差而保留坐标参数为待估参数，一般采用站星双差模型。通常采取高度角最高的卫星i为参考星，其他卫星分别与其差分。其模型可以表达为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _f}\nabla {\rm{\Delta }}\phi _{A, B}^{i{\rm{*}}, f} = \nabla {\rm{\Delta }}\rho _{A, B}^{i{\rm{*}}} + {\lambda _f} \cdot \nabla {\rm{\Delta }}W_{AB}^{i{\rm{*}}} - }\\ {{\lambda _f}\nabla {\rm{\Delta }}N_{AB}^{i{\rm{*}}} + \nabla {\rm{\Delta }}\varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}}} \end{array}$

(10)

为了从观测域分离出相位缠绕便于分析，将式（10）观测值仍然用GF组合替代，以消除几何距离误差的影响:

$\begin{array}{*{20}{c}} {\nabla {\rm{\Delta }}\mathit{\Phi} _{AB}^{ij, {\rm{GF}}} + {\lambda _1}\nabla {\rm{\Delta }}{N^{ij, f = 1}} - {\lambda _2}\nabla {\rm{\Delta }}{N^{ij, f = 2}} = }\\ {\left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)\left( {{\rm{\Delta }}W_{AB}^i - {\rm{\Delta }}W_{AB}^j} \right) + \nabla {\rm{\Delta }}\varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}}} \end{array}$

(11)

在给定的短基线条件下，双差观测值低频部分被大大削弱了，将流动站在近似坐标处线性化，则只需要几个历元的静态观测即可成功固定L1和L2双差模糊度。在分别固定后，式（11）可以简化为：

$\begin{array}{*{20}{c}} {\nabla {\rm{\Delta }}\mathit{\Phi} _{AB}^{ij, {\rm{GF}}} = \left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)({\rm{\Delta }}W_{AB}^i - }\\ {{\rm{\Delta }}W_{AB}^j) + \nabla {\rm{\Delta }}\varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}}} \end{array}$

(12)

由此可见，若天线旋转带来的相位缠绕效应对i星和j星均相同（即${\rm{\Delta }}W_{AB}^i = {\rm{\Delta }}W_{AB}^j$，式（12）等式右边只剩下放大后的观测噪声$\nabla {\rm{\Delta }}\varepsilon _{AB}^{{\rm{GF}}} \approx 9.7$ mm），其等效于卫星矢量在AFCS下的投影变化相同，并可以被与之耦合的接收机钟差吸收。在这种情况下，相位缠绕可以被双差模型消除。若天线旋转带来的相位缠绕效应对i星和j星不同，如天线的极化轴方向在旋转过程中发生了变化，即${\mathit{\boldsymbol{R}}^Z}$与K的相对位置关系发生改变（即除了共同的投影方位角变化，还有投影高度角变化残余项），在此种情况下，${\rm{\Delta }}W_{AB}^i \ne {\rm{\Delta }}W_{AB}^j$，各个卫星的相位缠绕双差项并不能被一个接收机钟差吸收，因此双差模型中会有残余相位缠绕误差，造成参数估计后的残差偏大，定位精度下降。

3 实验设计与结果分析

为了精确模拟天线姿态，本实验采用了一个高精度三维旋转机械臂平台来固定天线（见图 3）, 其可以绕天线极化轴旋转和倾斜摆动旋转。旋转平台的旋转控制精度达到了0.2°，可以满足实验要求。在距平台约3 m处，还布设了一个静态基站，用来组成差分观测数据。

实验过程分为3个阶段：静态观测、水平旋转、倾斜摆动。静态观测可以用GF组合分析电离层变化趋势、周跳情况等。水平旋转模拟了汽车等载体在转弯时的天线旋转。倾斜摆动旋转模拟了汽车上下坡和飞机起飞等俯仰角的变化。

本实验所用数据分两次采集，两台接收机均为Trimble R9, 天线为TRM115000，采样率为1 Hz。第一次实验为静态和水平旋转测试，数据采集于2019-01-03T07：00—08：30，观测时间持续约90 min，其中前10 min为静态，后80 min天线顺时针旋转3周后再逆时针旋转3周，回到起始位置，截止高度角为10°。第二次实验为倾斜摆动测试，观测时间持续约30 min，旋转平台的末端手臂绕其固定轴点旋转，天线的俯仰角在-50°~50°之间变化，共重复5.5个周期。

3.1 静态和水平旋转(绕极化轴旋转)实验

为了详细分析实验结果，本文选取了在整个实验过程中均可见的4颗卫星（G14、G26、G31、G32）的数据进行分析，其天空图如图 4所示。

图 5给出了基准站和流动站非差GF组合时间序列。GF组合观测值实际受电离层残差、相位缠绕误差以及模糊度参数的共同影响^[6]。从图 5（a）可以看出, GF组合观测值变化平稳，表明在观测期间电离层变化平稳，且没有周跳发生。在图 5（b）中，流动站由于天线发生旋转引入了相位缠绕影响，在07：15开始顺时针旋转和07：50逆时针旋转时均有拐点出现。

图 6给出了流动站静态和水平旋转观测站间单差GF组合时间序列。可以看出所有卫星在07:15之后出现了共同的斜率，且4颗卫星变化幅度一致。根据式（9），天线旋转3周对应的组合值变化理论上约为16 cm, 与图中的变化幅度相符。图 6中各个卫星单差GF组合值并不相等的原因是此时组合值还包含了单差模糊度。图 7是经姿态变换后的公式得到的相位缠绕单差理论计算值，水平旋转时各个卫星的相位缠绕单差值完全相等，其变化幅度为3周，与GF实测数据一致。

图 8给出了流动站水平旋转观测站间双差GF组合时间序列，所有卫星均呈现水平分布。根据图 7中各个卫星均相等的单差相位缠绕可以推断出相位缠绕双差理论计算值均为0。图 8实测双差GF值与理论值0均相差一个常数是由于双差GF组合中还包含双差整周模糊度参数。在用最小二乘模糊度降相关平差（least-square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）法固定了双差模糊度并消去后，可以看到图 9中实测双差GF值在零均值附近波动（其残差包含放大的观测噪声$\nabla {\rm{\Delta }}\varepsilon $和多路径等影响）。由此可以看出天线绕其极化轴旋转所引起的相位缠绕对每颗卫星均相同。同时由于相位缠绕和接收机相位钟差耦合，因此在双差模型中相位缠绕可以被一个接收机相位钟差参数吸收并消除。

3.2 倾斜旋转实验

实验选取了在倾斜摆动过程中一直可视的共视卫星（G10、G12、G14、G20）进行分析, 其中G10是双差基准星。卫星在天线坐标系下的轨迹如图 10所示，图中各个卫星的条带反映了卫星由于天线多次摆动而产生的轨迹。由于在观测期间卫星本身在运动，因此轨迹并不重叠。图 11给出了天线倾斜摆动时相位缠绕双差理论计算值。可以看出，由于3颗卫星所处的方位不同，双差相位缠绕不等于0，且不再如同绕极化轴旋转一样呈现完全相同的变化幅度，每颗卫星变化各不相同。且G12和G20变化趋势相同，均是先减小后增大，而G14则是先增大后减小。这是由于当天线开始向北倾斜时，G12和G20在AFCS坐标系下的方位角在0°~180°内开始顺时针变化，而G14在0°~-180°开始逆时针变化，从而造成计算值符号相反。

由图 11可以看出，相位缠绕双差的变化范围最大为±0.015 m, 对应相位为±0.08周。如果用式(12)计算双差GF组合残差，其残差理论变化范围仅为±4.2 mm, 易被双差GF组合的观测噪声淹没, 不利于分析其变化趋势。因此在倾斜摆动实验中采用静态测量固定先验坐标的方式，计算各卫星双差残差时间序列。图 12给出了G12、G14、G20卫星的双差残差值与双差相位缠绕计算值的对比。从图 12中可以看到双差残差值随着天线的摆动而呈周期性的变化，并与理论公式计算值具有高度一致性，其相关系数分别为0.93、0.87、0.82。G12、G14、G20的曲线峰值分别约为0.03 m、0.02 m、0.01 m。这说明每颗卫星的相位缠绕变化与基准星相位缠绕变化并不一致，相位缠绕并没有被双差模型消除。

将相位缠绕改正加入到双差模型后的双差残差RMSE统计如表 1所示, 其残差序列仅包含了观测噪声和多路径影响。可以看出G12、G14、G20相较于改正前，RMSE分别减小了45%、47%和21%。由于G12、G14受双差相位缠绕影响较大，因此其改善最为显著。

为了研究相位缠绕对短基线定位的影响，本文采用单历元动态解算流动站坐标，其相对于基准站运动的真实位置是由机械臂输出的终端坐标经过坐标转换得到的, 在LLS下表示为E、N、U方向的分量。图 13给出了经过相位缠绕改正前后的基线坐标分量与真实值之间的偏差序列，可以看出，经过改正，3个坐标分量精度均有所提高。统计其RMSE如表 2所示, E、N、U方向的偏差经过相位缠绕改正后分别提高了27%、33%和30%。

为了验证在短基线中天线倾斜造成的相位缠绕影响与中长基线中地球曲率造成的相位缠绕影响具有相同的效应，本文设计了如表 3所示的卫星和测站模拟分布场景。参考Wu等^[2]给出的长基线场景双差示例和卫星分布，同样设计了两颗星下点分别为北纬0°、东经0°和北纬45°、东经90°的卫星。方案1中测站1位于北极点（纬度B和经度L均为0°），测站2在卫星2子午面内从北极经过赤道移到南极点（纬度B由90°变为-90°）。方案2中两个测站均位于北极点，而测站2的天线倾角从0°变化到180°，此时的天线姿态变化与方案1移动测站具有一定相似性。图 14中的曲线表示随着测站2移动和倾斜天线相位缠绕双差的变化情况。其中方案1呈现线性变化，幅度达到0.5周，与Wu等^[2]所述一致。方案2呈现曲线变化，变化幅度与方案1一致。由此可以看出，虽然测站2位置不同，但随着天线向南倾斜，相位缠绕变化趋势一致。因此天线倾斜造成的相位缠绕影响与中长基线中地球曲率造成的相位缠绕影响具有近似的等效性。

4 结语

本文基于Wu等^[2]的相位缠绕公式给出了附加外部姿态信息的计算公式，并根据天线不同旋转方式分析了相位缠绕对双差模型的影响。首先，根据实测数据发现在流动站天线极化轴方向发生变化时，双差模型并不能完全消除相位缠绕的影响。然后对比分析了理论数据和实测数据，证实利用姿态信息计算的理论相位缠绕双差值与实测的双差残差具有高度一致性。数据统计表明，经过相位缠绕改正后的双差残差RMSE比改正之前减小了21%~47%，坐标偏差RMSE减小了27%~33%。在高精度的RTK算法中，可以基于低成本的惯导等实时获取姿态信息，并用相位缠绕公式进行改正。最后验证了短基线相对定位中天线倾斜造成的相位缠绕影响与中长基线中地球曲率造成的相位缠绕影响具有近似等效性。

本文虽然只分析了GPS实验数据，但对北斗卫星导航系统、俄罗斯的GLONASS系统、欧盟的伽利略（Galileo）系统也同样适用。本文只用机械臂进行了有规律的小范围动态模拟实验，未来我们还将计划进行实际船载实验，研究在风浪较大船体摆动明显时上述结论的可靠性。