磁梯度张量系统一般由三轴磁通门传感器、超导量子干涉仪等矢量磁强计按一定形状组合阵列而成^[1]，由于对磁异信号更敏感，拥有更高空间分辨率，且不易受地磁日变与背景磁干扰影响，广泛用于军、民用磁法勘探领域，如航空磁测与导航、土壤黑色金属检测、地下未爆弹搜索和潜艇侦查或排雷等^[2-4]。磁梯度张量系统测量误差因素有很多^[5-6]，例如磁通门传感器存在如三轴输出零位偏差、灵敏度差和非正交性等系统误差；多磁传感器排列时，存在传感器轴系间位移、旋转非对准误差。此外，传感器存在磁芯温度系数和磁滞现象，背景场存在硬、软磁干扰等。这些误差使得系统输出偏差达到上千nT/m，严重影响磁梯度张量系统的测量精度，必须进行校正。

磁梯度张量系统校正思路可分为两步：(1)单磁传感器系统误差校正；(2)传感器阵列非对准误差校正。单磁传感器校正方法分为矢量和标量两种校正方法。传统矢量校正需高精度设备与平台，成本远高于传感器造价，不适用于工程实际^[7]，而标量校正作为低成本方法，利用质子磁强计测得总场标量输出作参考进行校正，忽略了实际环境非匀强场特性而存在理论缺陷^[8]。非对准误差只能进行矢量校正。故目前张量系统校正多为两步法，即先标量校正传感器输出，后以传感器之一为参考，矢量校正非对准误差，这会造成校正后系统无法沿参考平台输出。文献[9-13]对磁梯度张量系统进行了两步校正并取得了较好效果，且都是采用标量校正方法。文献[11]提出了四面体磁梯度张量系统误差两步补偿法，但因传感器实际输出高阶小量被忽略而精度受影响。文献[14]提出了磁张量系统线性校正方法，但因误差参数模型的标度因子和非正交角高阶小量被简化，参数估计值存在偏差。文献[9]提出了无数学简化的两步线性校正，系统可沿参考平台正交输出且校正效果较好，但因非对准角旋转顺序决定了校正顺序，在求非对准角时，旋转两个轴求得的3个非对准角属于不同顺序关系，造成参数估计值不匹配，且传感器理想输出被设为恒定值参与线性方程组求解，故总场强度校正结果过于理想化，称为过校正现象。文献[15]尝试使用非线性标量法分步求解误差参数模型，但第2步只能以传感器之一为参考进行对准而不能沿系统参考平台正交方向输出，不利于实际测量。矢量与标量校正各有利弊，本文尝试结合两者优点，因并非匀强磁场环境，为理论上避免标量校正参数求解过程中的过校正现象，以低成本“人造”平台矢量输出为参考，提出了一种非线性集成校正方法。先将参考平台实际多姿态三分量输出通过线性校正转换为理想正交输出以作矢量参考，再将各传感器12个误差参数集成一体模型，尝试利用最小二乘非线性拟合方法一次性快速准确地估计出参数值，消除传感器偏差、标度因子、非正交性和传感器阵列非对准误差对测量精度造成的影响。

1 磁张量理论与系统构建 1.1 磁张量要素

磁场是矢量场，其三正交轴方向上空间变化率定义为磁梯度张量^[1]，共9个分量：

$\mathit{\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {B_x}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {B_y}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial x}}}\\ {\frac{{\partial {B_x}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {B_y}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial y}}}\\ {\frac{{\partial {B_x}}}{{\partial z}}}&{\frac{{\partial {B_y}}}{{\partial z}}}&{\frac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right] =\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial {x^2}}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial x\partial y}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial x\partial z}}}\\ {\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial y\partial x}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial {y^2}}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial y\partial z}}}\\ {\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial z\partial x}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial z\partial y}}}&{\frac{{{\partial ^2}{\varphi _m}}}{{\partial {z^2}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{xx}}}&{{B_{xy}}}&{{B_{xz}}}\\ {{B_{yx}}}&{{B_{yy}}}&{{B_{yz}}}\\ {{B_{zx}}}&{{B_{zy}}}&{{B_{zz}}} \end{array}} \right]$

(1)

式中，G为张量矩阵；B_x、B_y、B_z为磁场分量；φ_m为磁标势；B_ij(i, j=x, y, z)表示张量分量。静磁场时，因环境无电流存在，据麦克斯韦方程有▽·B=0，$\nabla \times \mathit{\boldsymbol{B}} = 0$，其中B为磁场矢量，磁场旋度和散度为零，故G对称且无迹，式(1)仅5个元素相互独立。

1.2 平面十字磁梯度张量系统

因构造简单、安装方便且结构误差较小，本文采取平面十字形结构的张量系统，由平面十字无磁平台和4个三轴磁传感器成对排列构成，基线距离为d，如图 1所示。

实际测量难以从本质上测量磁矢量场梯度，可通过短距离基线矢量差分近似表示，即${B_{ij}} \approx {\rm{\Delta }}{B_{ij}}/{d_j}$，其中ΔB_ij表示两传感器在j方向上的i分量读数差，d_j表示两传感器在j方向上的距离。O点处的磁场矢量B_O和磁梯度张量矩阵G的表达式为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_O} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{xO}}}\\ {{B_{yO}}}\\ {{B_{zO}}} \end{array}} \right] = \frac{1}{4}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{x1}} + {B_{x2}} + {B_{x3}} + {B_{x4}}}\\ {{B_{y1}} + {B_{y2}} + {B_{y3}} + {B_{y4}}}\\ {{B_{z1}} + {B_{z2}} + {B_{z3}} + {B_{z4}}} \end{array}} \right]}\\ {\mathit{\boldsymbol{G}} = \frac{1}{d}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{x1}} - {B_{x3}}}&{{B_{x2}} - {B_{x4}}}&{{B_{z1}} - {B_{z3}}}\\ {{B_{y1}} - {B_{y3}}}&{{B_{y2}} - {B_{y4}}}&{{B_{z2}} - {B_{z4}}}\\ {{B_{z1}} - {B_{z3}}}&{{B_{z2}} - {B_{z4}}}&{ - \left( {{B_{x1}} - {B_{x3}}} \right) - \left( {{B_{y2}} - {B_{y4}}} \right)} \end{array}} \right]} \end{array}} \right.$

(2)

式中，${B_{mn}}\left({m = x, y, z; n = 1, 2, 3, 4} \right)$表示在m方向上n号磁传感器的磁场分量读数。

使用文献[9]的线性方法，以标量||B_O||₂为参考，将B_O转换为理想正交输出B并用作平台参考，低成本得到标准参考矢量。由于系统结构误差导致式(2)中B_xy和B_yx存在差异，为确保测量精准，本文将其分开对待，故仅需测得B_xx、B_xy、B_xz、B_yx、B_yy、B_yz 6个分量就能得到矩阵G。张量测量值与理论值本质上有一定偏差，且一旦确定了张量系统结构，这种误差就不能被忽略，定义为结构误差^[9]，故磁梯度张量系统搭建需综合考虑磁场环境、基线距离、传感器分辨率等因素对磁测精度造成的影响。

2 张量系统误差参数集成模型求解 2.1 单磁传感器系统误差模型

单矢量磁传感器存在3轴零位偏差、标度因子、非正交性、温度误差等系统误差。文献[16]使用最小二乘支持向量机对磁通门传感器温度误差进行非线性补偿，但温度误差主要由磁芯温度系数造成，一般工作环境温差小且工作时间短，相比其他显著性误差，本文暂不考虑。

建立单磁传感器三轴坐标系非正交角度示意图，如图 2所示。设传感器实际坐标系为O-X₁Y₁Z₁，理想正交坐标系为O-X₂Y₂Z₂，参考平台正交坐标系为O-XYZ。图 2中，轴OZ₁与OZ₂同轴，面Z₁OY₁与Z₂OY₂共面。设轴OY₁与OY₂间夹角为$\psi $，轴OX₁与面X₂OY₂间夹角为$\varphi $，轴OX₁在面X₂OY₂上的投影OX'₁与轴OX₂间夹角为θ。$\varphi、\theta、\psi $一旦确定，传感器理想正交坐标系O-X₂Y₂Z₂随即唯一确定。

定义3轴输出零位偏差$I = {[{i_x}{\rm{}}{i_y}{\rm{}}{i_z}]^{\rm{T}}}$与灵敏度标度因子${c_i}\left({i = x, y, z} \right)$，构建磁传感器的9个误差参数θ、$\varphi、\psi $、c_x、c_y、c_z、i_x、i_y、i_z。设传感器实际输出为${B_1} = {[{B_{1x}}{\rm{}}{B_{1y}}{\rm{}}{B_{1z}}]^{\rm{T}}}$，理想输出为${B_2} = {[{B_{2x}}{\rm{}}{B_{2y}}{\rm{}}{B_{2z}}]^{\rm{T}}}$，可构建输出由O-X₁Y₁Z₁向O-X₂Y₂Z₂转换的数学模型：

$\begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_x}}&{}&{}\\ {}&{{c_y}}&{}\\ {}&{}&{{c_z}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\theta {\rm{cos}}\varphi }&{{\rm{sin}}\theta {\rm{cos}}\varphi }&{{\rm{sin}}\varphi }\\ {}&{{\rm{cos}}\psi }&{{\rm{sin}}\psi }\\ {}&{}&1 \end{array}} \right] \times \\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} + \mathit{\boldsymbol{I}} = \mathit{\boldsymbol{CA}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} + \mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}$

(3)

式中，C和A分别为标度因子误差矩阵和非正交误差矩阵。由式(3)可推导出B₂:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = {{\left( {\mathit{\boldsymbol{CA}}} \right)}^{ - 1}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} - \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)}\\ {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{CA}}} \right)}^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{{c_x}{\rm{cos}}\varphi {\rm{cos}}\theta }}}&{\frac{{ - {\rm{sin}}\theta }}{{{c_y}{\rm{cos}}\theta {\rm{cos}}\psi }}}&{\frac{{{\rm{sin}}\theta {\rm{sin}}\psi {\rm{cos}}\varphi - {\rm{sin}}\varphi {\rm{cos}}\psi }}{{{c_z}{\rm{cos}}\theta {\rm{cos}}\psi {\rm{cos}}\varphi }}}\\ {}&{\frac{1}{{{c_y}{\rm{cos}}\psi }}}&{\frac{{ - {\rm{sin}}\psi }}{{{c_z}{\rm{cos}}\psi }}}\\ {}&{}&{\frac{1}{{{c_z}}}} \end{array}} \right]} \end{array}} \right.$

(4)

设k_x=1/(c_xcosφcosθ)，k_y=1/(c_ycosψ)，k_z=1/c_z，g=(sinθsinψcosφ-sinφcosψ)/(cosθcosψcosφ))，m=-sinθ/cosθ，n=-sinψ/cosψ，得到单磁传感器误差参数校正模型：

$\begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}}\\ {{B_{2y}}}\\ {{B_{2z}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_x}}&{m{k_y}}&{g{k_z}}\\ {}&{{k_y}}&{n{k_z}}\\ {}&{}&{{k_z}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{1x}} - {i_x}}\\ {{B_{1y}} - {i_y}}\\ {{B_{1z}} - {i_z}} \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = \mathit{\boldsymbol{M}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} - \mathit{\boldsymbol{I}}} \right) \end{array} $

(5)

参数矩阵M与I可将实际输出B₁转换为理想输出B₂，完成系统误差校正过程。

2.2 张量系统非对准误差模型

搭建的磁梯度张量系统因条件限制，各传感器无法保证完全对准安装，加之系统误差校正后，各轴输出方向再次改变，正交系间对准错乱。文献[15]以传感器之一作参考校正非对准误差，但此法不能沿平台正交系转换输出。为保证校正结果的实用性，以平台正交坐标系O-XYZ为参考，校准4个传感器各自非对准误差，如图 3所示。

旋转3轴可将转换输出至O-XYZ上。定义绕X轴旋转为横倾角α，绕Y轴旋转为俯仰角β，绕Z轴旋转为方位角γ，仅分别存在α、β、γ时，设：B_α为横倾转换输出；B_β为俯仰转换输出；Bγ为方位转换输出；A_α、A_β、A_γ分别为横倾、俯仰、方位旋转矩阵，其公式分别为：

$\left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{B}}_\alpha } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}}\\ {{B_{2y}}{\rm{cos}}\alpha + {B_{2z}}{\rm{sin}}\alpha }\\ {{B_{2z}}{\rm{cos}}\alpha - {B_{2y}}{\rm{sin}}\alpha } \end{array}} \right] = \\ {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}\\ {}&{{\rm{cos}}\alpha }&{{\rm{sin}}\alpha }\\ {}&{ - {\rm{sin}}\alpha }&{{\rm{cos}}\alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}}\\ {{B_{2y}}}\\ {{B_{2z}}} \end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{A}}_\alpha }{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_\beta } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}{\rm{cos}}\beta - {B_{2z}}{\rm{sin}}\beta }\\ {{B_{2y}}}\\ {{B_{2x}}{\rm{sin}}\alpha + {B_{2z}}{\rm{cos}}\beta } \end{array}} \right] = \\ {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\beta }&{}&{ - {\rm{sin}}\beta }\\ {}&1&{}\\ {{\rm{sin}}\beta }&{}&{{\rm{cos}}\beta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}}\\ {{B_{2y}}}\\ {{B_{2z}}} \end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{A}}_\beta }{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}\\ {\mathit{\boldsymbol{B}}_\gamma } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}{\rm{cos}}\gamma + {B_{2y}}{\rm{sin}}\gamma }\\ {{B_{2y}}{\rm{cos}}\gamma - {B_{2x}}{\rm{sin}}\gamma }\\ {{B_{2z}}} \end{array}} \right] = \\ {\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\gamma }&{{\rm{sin}}\gamma }&{}\\ { - {\rm{sin}}\gamma }&{{\rm{cos}}\gamma }&{}\\ {}&{}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{2x}}}\\ {{B_{2y}}}\\ {{B_{2z}}} \end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{A}}_\gamma }{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} \end{array} \right. $

(6)

空间任意姿态3轴输出均能通过3个旋转矩阵相乘转换到参考正交系上。旋转矩阵乘积顺序固定，各轴输出转换顺序随即固定，非对准角校正顺序亦同时固定。传感器理想输出为B₂，设对准后的输出为B=[B_x B_y B_z]^T。

设定校正先后顺序为α、β、γ，则有输出转换：

$\mathit{\boldsymbol{B}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_\gamma }{\mathit{\boldsymbol{A}}_\beta }{\mathit{\boldsymbol{A}}_\alpha }{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = \mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}$

(7)

式中，T为空间任意姿态变换旋转矩阵。由式(7)可将各传感器理想正交输出B₂转换至参考平台输出B，完成对准过程。

2.3 集成参数模型的最小二乘非线性拟合

据上述推导，可将张量系统误差参数模型集成，由式(5)、式(7)得到:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x}}\\ {{B_y}}\\ {{B_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\gamma }&{{\rm{sin}}\gamma }&{}\\ { - {\rm{sin}}\gamma }&{{\rm{cos}}\gamma }&{}\\ {}&{}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\beta }&{}&{ - {\rm{sin}}\beta }\\ {}&1&{}\\ {{\rm{sin}}\beta }&{}&{{\rm{cos}}\beta } \end{array}} \right] \times }\\ \;\;\;\;{{\rm{}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}\\ {}&{{\rm{cos}}\alpha }&{{\rm{sin}}\alpha }\\ {}&{ - {\rm{sin}}\alpha }&{{\rm{cos}}\alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_x}}&{m{k_y}}&{g{k_z}}\\ {}&{{k_y}}&{n{k_z}}\\ {}&{}&{{k_z}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{1x}} - {i_x}}\\ {{B_{1y}} - {i_y}}\\ {{B_{1z}} - {i_z}} \end{array}} \right]}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} \Rightarrow \mathit{\boldsymbol{B}} = \mathit{\boldsymbol{TM}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} - \mathit{\boldsymbol{I}}} \right){\rm{}}} \end{array}$

(8)

式(8)为含12个误差参数的集成非线性方程，取N(N>12)个空间姿态的参考平台标准输出B和传感器实际输出B₁，可增广为N组线性方程：

${\mathit{\boldsymbol{B}}_{3 \times N}} = \mathit{\boldsymbol{TM}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}_{_{3 \times N}} - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{3 \times N}}} \right)$

(9)

为求解式(9)中的12个误差参数，对比多种参数估计算法的优劣，其中Levenberg-Marquardt (LM)^[17]是一种最小二乘非线性拟合算法，为高斯牛顿迭代法的改进形式，可提高参数估计性能，其特点是对初始参数不敏感，不需严格设置初始参数，适用于误差参数未知的实际校正情况。文献[18]使用LM算法对相机、磁传感器等系统参数进行估计和校准，并取得了较好效果，且经过验证，在传感器误差校正过程中，相比于其他算法，估计速度更快，性能更可靠。故本文使用LM算法估计参数，其基本思路是：利用泰勒级数展开式近似代替非线性回归模型，经数次迭代运算修正回归系数，使其不断逼近最佳值，实现参数模型残差平方和达到最小。设误差参数向量为$\mathit{\boldsymbol{V}} = {[{\mathit{\boldsymbol{V}}_1}{\rm{}}{\mathit{\boldsymbol{V}}_2}{\rm{}} \cdots {\mathit{\boldsymbol{V}}_{12}}]^{\rm{T}}}$，则迭代过程为：

${\mathit{\boldsymbol{V}}_{n + 1}} = {\mathit{\boldsymbol{V}}_n} + {\rm{\Delta }}\mathit{\boldsymbol{V}}$

(10)

式中，n为迭代次数，参数变化量表示为^[19]：

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}} + \mu \mathit{\boldsymbol{E}}} \right]{\rm{\Delta }}\mathit{\boldsymbol{V}} = - {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{v}}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} \Rightarrow \mathit{\boldsymbol{Q}}{\rm{\Delta }}\mathit{\boldsymbol{V}} = - {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{v}}} \end{array} $

(11)

式中，J为参数向量V的雅可比矩阵；E为单位矩阵；μ为调节系数，其满足计算标量值的最小误差；v=[v₁(V₁)v₂(V₂)…v₁₂(V₁₂)]^T为12个估计参数的误差向量；v₁，v₂…v₁₂为误差参数估计的偏差向量；Q为系数矩阵，则对任意μ>0，系数矩阵均为正定，以此保证ΔV为下降通道。Matlab中可调用lsqnonlin函数^[20]使用LM算法对式(9)求取最小二乘拟合解向量。

3 张量系统校正仿真

通过Matlab仿真校正过程。设地磁总场强度(total magnetic intensity，TMI)为55 000 nT，磁倾角为60°，磁偏角为-7°，张量系统基线距离0.5 m。为获得全空间方向姿态数据，模拟张量系统依次绕X、Y、Z轴旋转，间隔20°，则每旋转一周采样18次，全空间总共采样18³次。将此数据作为平台参考矢量输出，预设各传感器的12个误差参数并仿真出各姿态点实际输出，其3分量空间分布见图 4。为模拟真实测量底噪，加入均值为0 nT、方差为1 nT的高斯噪声。

通过提出的非线性集成校正方法对各传感器实际3分量进行校正，同时建立文献[14]的简化线性模型和文献[9]的无简化线性模型以对比校正性能。校正前后各传感器TMI输出均方根误差(root mean square error，RMSE) ^[20]列于表 1，各张量分量RMSE列于表 2，仿真预设与估计参数列于表 3，其中TMI和张量分量RMSE分别反映传感器的系统误差和轴系非对准误差的校正性能。以传感器1、3的TMI输出和O点处张量B_xx、B_yz分量为例，校正前后对比如图 5所示。

输出RMSE计算公式^[20]为：

${E_{{\rm{RMS}}}} = \sqrt {\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {B{c_i} - {B_i}} \right)}^2}} } \right)/N} $

(12)

式中，B_i为第i个姿态点平台参考输出；BC_i为该点校正输出；N为姿态数。

据仿真结果可知，匀强磁场时，相比文献[14]的简化线性校正，本文提出的非线性集成矢量校正与文献[9]的无简化两步线性校正在高斯噪声误差范围内，均能从理论上实现构建模型的系统误差精确校正，但文献[9]的参数最低估计准确率(parameters minimum estimation accuracy，PMEA)只有86%^[9]。由于分步过程求解非对准角不匹配，且分步造成变量转换偏差，参数估计准确率不高，这也是两步法无法避免的。本文方法PMEA高达99.75%，在理想情况下能实现该误差参数模型的无损校正。

4 系统搭建与校正实验

搭建平面十字磁梯度张量系统，包含4个Bartington公司生产的磁通门传感器、铝合金十字架、铝铜合金3轴无磁转台、数据采集卡和软件终端。无磁转台主要技术参数如下：(1)方位角定向旋转范围为360°，俯仰和横倾角均为±40°; (2)3个欧拉角的位置精度限于±6'。采用阿尔泰公司USB2852数据采集卡，它具有16通道同步数据采集功能和16位分辨率。

校正实验如图 6所示，实验地点为某地磁干扰较少、环境场稳定的野外，系统基线距离0.4 m，环境温度29 ^oC。实验时间选为下午6点，以尽量避免地磁日变影响。使用标量质子磁强计确定较稳定的磁环境测量点，测得该处系统旋转空间范围内平均TMI标量B_s为53 911. 48 nT。

实验过程分为两部分：(1)平台围绕Z轴旋转1周进行标准测量；(2)随机转动无磁平台进行任意空间姿态测量。标准测量时每10°采样1次，则绕Z轴1周过程中共采样36次。随机采样100次以增加数据量，避免偶然性结果并验证其校正适应性能。实验总共采样得到136组不同姿态数据，每组包含4个传感器各姿态磁场3分量输出，据式(2)可得到B_O，以||B_O||₂为参考对B_O进行线性校正，得到“人造”平台参考矢量输出B。计算||B||₂为53 902.87 nT，与B_s偏差在10 nT内，故该矢量校正可信度较高。

分别使用文献[14]、文献[9]和本文方法估算出4个传感器共48个误差参数后，对输出进行校正，各传感器TMI校正效果对比见图 7，其RMSE列于表 4。由于环境非匀强磁场且存在日变及干扰，故真实各姿态TMI并非恒定而是波动变化的，本文采用136组平台参考输出B，模拟实测TMI随姿态变化波动并在图 7中作参考。校正前后系统张量6个独立分量见图 8，其RMSE列于表 5。对比文献[9]和文献[15]中以传感器之一为参考的方法，取标准测量的36组姿态，校正前后各传感器磁场3分量空间分布如图 9所示。

经对比可知，文献[14]的简化线性校正张量分量精度较低；按照计算要求，文献[9]的线性校正方法必须以标量B_s作为参考，易产生过校正现象，而本文非线性集成校正后，传感器能准确拟合平台参考输出，TMI的RMSE降至2 nT内，在上述矢量参考偏差范围内校正精度较高。对于非对准误差，利用文献[15]的方法对准后，虽获得较好同轴度，但不能沿平台输出, 故实用性欠佳；文献[9]因过校正导致校正后传感器与平台参考输出重合性能受影响，而§3仿真过程的参考TMI设为恒定，故未出现过校正现象。非线性集成校正张量分量RMSE降低更明显，且由图 9可知，传感器与平台参考输出重合性能更好。

为验证本文方法估计出的48个误差参数的鲁棒性能，重新选择测量点再次实验，两次实验估计结果列于表 6，各参数在千分位精度下复现率高于90%，表明校正结果稳定可靠。实际测量过程中，利用得到的48个参数通过式(9)对测量数据可进行一次性误差补偿，数据处理高效且稳定。

5 结语

本文提出了磁梯度张量系统非线性集成矢量校正方法。通过建立十字张量系统集成误差模型，利用Levenberg-Marquardt算法实现了非线性方程组的最小二乘拟合，一次性估计出系统48个误差参数。由于采用单传感器多姿态矢量输出校正，该方法适用于任何3轴磁传感器、加速度计准确高效，可对张量测量仪器进行批量快速校准。对比文献[14]、文献[9]、文献[15]的校正方法，在理想匀强磁场情况下，本文非线性集成校正仿真参数估计准确率接近100%，且由于集成参数模型不存在两步法转换失真和参数求解顺序固定的缺陷，实验中对随姿态改变产生波动的参考TMI输出具有跟踪校正能力，有效避免了线性校正必须将TMI设为定值以参与线性方程组求解的过校正问题。本文方法未考虑传感器温度系数、非线性度和硬软磁干扰等因素对张量系统精度的影响，且该方法以平台矢量输出为校正参考的依耐性较强，后期可采用更灵敏和高帧数的磁强计进行多姿态磁场矢量测量作为张量系统参考输出，以提高校正准确率和真实性。