水位改正是海道测量中获取稳态水深数据的重要技术环节，其目标是尽量获得待测点测深时刻的真实海面位置，并将瞬时水深值归算至深度基准面^[1-2]。随着卫星定位技术的广泛应用和测深仪器的智能化发展，测深时刻平面位置的精确获取及瞬时水深的全覆盖探测已取得根本突破，而水位改正涉及对潮汐的认识、对海面的观测等若干非仪器所能处理的问题。这些技术难题需通过水位改正方法解决，而目前水位改正方法仍停留在历史阶段^[3-5]，因此水位改正已成为约束水深测量结果精度的主要因素，而且精密海底地形测量对水位改正技术提出了更高的精度要求^[6]。

20世纪80年代，经过对水深测量中水位改正的研究，文献[7]提出了基于相关系数的时差法，实现了水位改正由传统的手工作业方式向计算机处理的转变，并且将离散的潮汐分带法改进为水位的连续分带^[3]。文献[8]提出了潮汐曲线最小二乘比较法，利用潮差比、潮时差、基准面偏差3个潮汐比较参数对验潮站间的水位进行配准，为水位改正提供了一种新方法。潮汐曲线最小二乘比较法的优势在于可对水位改正结果进行精度评价。在此基础上，文献[9]研究了潮汐比较参数的时变规律的成因与影响，指出潮时差的变化周期与分潮的会合周期有关，文献[10]根据参数时变规律研究了模型应用的优化设置，对利用最小二乘曲线比较法确定潮汐比较参数时观测时长的选择提出了一些具体方案。

目前，在实施时差法水位改正作业时确定的潮时差通常为稳定值或一天内为稳定值，传统时差法尚不能解决时变潮时差下的潮位内插问题。为降低时变潮时差对水位改正的影响，本文在现有海道测量水位改正研究的基础上，顾及潮时差的时变特性，对如何合理地划分时段确定潮时差以提高水位改正精度进行了分析和实例验证。

1 时变潮时差水位改正方法 1.1 潮时差时变原因

不考虑非潮汐水位的影响，观测水位可看作若干分潮的叠加，假设共有m个分潮，则水位h(t)可表示为:

$h\left( t \right) = \mathop {\mathop \sum\limits_{i = 1} }\limits^m {H_i}{\rm{cos}}\left( {{\theta _i} - {g_i}} \right)$

(1)

式中，H、g分别表示分潮的振幅与迟角；θ_i=μ₁ⁱτ+μ₂ⁱs+μ₃ⁱh+μ₄ⁱp+μ₅ⁱN′+μ₆ⁱp′+μ₀ⁱπ/2，θ_i表示各分潮的相角，其中μ_jⁱ为各分潮的Doodson数，τ、s、h、p、N′、p′为6个基本天文参数^[11-13]。

在构成水位的众多分潮中，随从分潮对主分潮变化过程有调制作用，假设m个分潮中的主要分潮振幅与迟角分别为H_k、g_k，设其余分潮与主分潮具有差比关系κ_i=H_i/H_k，φ_i=g_k-g_i，则式（1）可表示为：

$h\left( t \right) = \mathop {\mathop \sum\limits_{i = 1, i \ne k} }\limits^{m - 1} {\kappa _i}{H_k}{\rm{cos}}\left( {{\theta _k} - {g_k} + {\rm{\Delta }}{\theta _i} + {\varphi _i}} \right) + {H_k}{\rm{cos}}\left( {{\theta _k} - {g_k}} \right)$

(2)

式中，Δθ_i表示相角差，为各随从分潮与主分潮Doodson数之差与对应天文变量乘积的和。对于主分潮κ_k=H_k /H_k=1，φ_k=g_k-g_k=0，Δθ_k=0，故式（2）可以描述为：

$h\left( t \right) = \mathop {\mathop \sum\limits_{i = 1} }\limits^m {\kappa _i}{H_k}{\rm{cos}}\left( {{\theta _k} - {g_k} + {\rm{\Delta }}{\theta _i} + {\varphi _i}} \right)$

(3)

令

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {D{\rm{cos}}d = \mathop {\mathop \sum\limits_{i = 1} }\limits^m {\kappa _i}{\rm{cos}}\left( {{\rm{\Delta }}{\theta _i} + {\varphi _i}} \right) = a}\\ {D{\rm{sin}}d = \mathop {\mathop \sum\limits_{i = 1} }\limits^m {\kappa _i}{\rm{sin}}\left( {{\rm{\Delta }}{\theta _i} + {\varphi _i}} \right) = b} \end{array}} \right.$

(4)

则式（3）中的各分潮可合并为:

$h\left( t \right) = D{H_k}{\rm{cos}}\left( {{\theta _k} + d - {g_k}} \right)$

(5)

式中，D、d体现了随从分潮对主分潮的调制影响，分别为随从分潮对主分潮振幅的调幅因子及对迟角的调相因子，确定公式为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {D = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }\\ {d = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^{ - 1}}\left( {b/a} \right)} \end{array}} \right.$

(6)

1.2 不同时段确定潮时差含义差异

假设基准验潮站A、B的水位观测分别为w_A(t)、w_B(t)，基准站A、B之间有一待定站P，水位值为w_P(t)，则时差法水位改正的模型^[7]为：

${w_P}\left( t \right) = \frac{{{S_{PB}}}}{{{S_{AB}}}}{w_A}\left( {t + {\tau _{AP}}} \right) + \frac{{{S_{AP}}}}{{{S_{AB}}}}{w_B}\left( {t - {\tau _{PB}}} \right)$

(7)

式中，τ_AP、τ_PB分别为验潮站A、P和P、B之间的潮时差; S_AP、S_PB分别表示待定站P与验潮站A、B之间的距离，本文提到的待定站与基准站之间的距离均表示待定站P在两基准站连线AB上的投影与基准站之间的距离; S_AB为两验潮站间距离，且S_AB =S_AP + S_PB。

潮位最小二乘曲线比较法的数学模型^[8]为：

${w_P}\left( t \right){\rm{}} = {\rm{}}{\gamma _{AP}}{w_A}\left( {t{\rm{}} + {\rm{}}{\tau _{AP}}} \right){\rm{}} + {\rm{}}{\varepsilon _{AP}}$

(8)

式中，γ_AP、τ_AP、ε_AP分别为验潮站A、P之间的潮差比、潮时差以及基准偏差。

时差法与最小二乘曲线比较法都是对传统潮汐分带法的改进，均实现了验潮站间水位的连续时空内插，两者具有一定的等效性^[1]，但基本思想不同。时差法水位改正是对两个基准验潮站水位的反距离加权，自变量是待定站与两基准站间的潮时差。最小二乘曲线比较法是在考虑到相位变化的基础上，通过将基准站水位进行伸缩、平移变换至待定站水位，潮时差为基准站水位的水平移动量，并且最小二乘曲线比较法可以给出验潮站之间水位的代表误差用于水位改正的精度评定。最小二乘曲线比较法的时差参数是最小二乘原理下的最优解，受水位观测误差影响较小，相较于时差法确定潮时差的方法更稳定。因此，本文采用最小二乘比较法^{[3, 14-16]}确定潮时差。

确定潮时差时，水位时段划分方法包括利用一个月水位的整时段法、利用每天水位的逐日独立时段法以及以每个水位观测时刻为中间时刻的逐时滑动时段法等。一个月水位的整时段法的潮时差确定结果数量较少且为稳定量，因此本文主要对逐日独立时段与逐时滑动时段进行分析。图 1为逐日独立时段与逐时滑动时段确定潮时差的示意图。图 1中w_A、w_B为两个验潮站的水位观测曲线，τ_Ⅰ，τ_Ⅱ…τ_N为独立时段法确定的潮时差，Ⅰ，Ⅱ…N表示天数，τ₁，τ₂…τ_n为滑动时段法确定的潮时差，1，2…n表示小时数。

如图 1所示，逐日独立时段法是利用验潮站整天的同步水位观测数据每日计算一个潮时差，此时确定的潮时差是每日中间时刻的潮时差，即以每日中间时刻的潮时差代替同天内其他时刻的潮时差进行水位改正。逐时滑动时段法是以每个水位观测时刻为中间时刻，利用同步观测数据逐时向后滑动确定潮时差，即每个水位观测值对应一个潮时差值。通常验潮站的观测间隔为1 h，利用逐时滑动时段法可以每天算得24个潮时差值。图 1中，逐日独立时段与逐时滑动时段时差确定结果每隔24 h相等一次，即τ₁= τ_Ⅰ，τ₂₅= τ_Ⅱ…τ_{24(n-1) +1}= τ_N，逐日独立时段法确定的潮时差是逐时滑动时段法确定潮时差的子集，逐时滑动时段法是对逐日独立时段法观测间隔内的补充，反映了逐日独立时段观测间隔内潮时差的变化。

1.3 时差法误差分析

对于基准站A、B及待定站P，设逐时滑动确定A、B间的潮时差τ_AB，令r = S_AP /S_AB，则逐时滑动时段确定的A、P和P、B间潮时差可根据空间内插原理^[2]表示为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{AP}} = r{\tau _{AB}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}\\ {{\tau _{PB}} = \left( {1 - r} \right){\tau _{AB}}} \end{array}} \right. $

(9)

设逐日独立时段确定的A、B间潮时差为τ_AB⁰，则两种方法引起的潮时差确定误差为Δτ_AB=τ_AB-τ_AB⁰，由潮时差确定误差引起的水位改正误差为Δw_P(t)=w_P(t)-w_P⁰(t)，将式（9）代入式（7）可得：

$ {w_P}\left( t \right) = \left( {1 - r} \right){\rm{}}{w_A}\left( {t + r{\tau _{AB}}} \right) + r{w_B}\left[ {t - \left( {1 - r} \right){\tau _{AB}}} \right]{\rm{}} $

(10)

式（10）可看作τ_AB的函数，设为F(τ_AB)，对式（10）在τ_AB⁰处按泰勒级数展开，由于二次以上项很微小，可以忽略，则式（10）可表示为：

$ {w_P}\left( t \right) = F\left( {\tau _{AB}^0} \right) + {\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial {\tau _{AB}}}}} \right)_0}\left( {{\tau _{AB}} - \tau _{AB}^0} \right) $

(11)

对式（11）整理，得：

$ {\rm{\Delta }}{w_P}\left( t \right) = r\left( {1 - r} \right){\rm{\Delta }}{\tau _{AB}}{\rm{\Delta }}{{w'}_{AB}} $

(12)

式中，w′_A(t+rτ_AB⁰)、w′_B(t+rτ_AB⁰-τ_AB⁰)分别为A、B验潮站水位曲线的导数，由式（12）可知，两种时段划分方式下潮时差的水位改正差异与待定站P的距离系数r(1-r)、基准站水位曲线导数的差Δw′_AB以及潮时差确定偏差Δτ_AB有关。

2 水位改正实验结果与分析 2.1 潮时差周期性变化现象分析

本文潮位数据来自某不规则半日潮海域，共有9个长期验潮站，分布如图 2所示，该海域潮波传播方向如箭头所示。选择各验潮站连续30 d的同步观测数据作为本文的实验数据，各验潮站水位观测间隔为10 min。各验潮站无缺测数据，但观测水位存在不规则抖动，为保证数据质量，使用前，本文利用半参数模型对水位数据进行了预处理^[17]。

O₁、K₁、M₂、S₂为实验海域振幅较大的4个分潮，验潮站A、B的调和常数如表 1所示。选择M₂分潮作为研究分潮间调制作用的主分潮，其余分潮视为随从分潮，根据式（4）-（6），计算一个月内随从分潮对主分潮的调幅、调相因子，分析潮时差变化与水位相互作用的关系，计算结果及对应量的变化周期如图 3所示。

由于验潮站的K₁分潮略小于M₂分潮，因此图 3(a)中调幅与调相变化的过程比单纯只有一个主要分潮的情况复杂，但图 3(a)调幅与调相因子的变化仍呈现周期性。图 3(b)、3(c)分别为利用谱分析法确定的调幅、调相因子变化周期。调幅、调相因子均具有约1 d、15 d的周期，因为O₁、K₁、S₂与M₂分潮之间的会合周期分别为1.0 d、1.1 d、14.8 d。图 3(d)为实测水位数据确定的潮时差值，以验潮站A为基准站、验潮站B为待定站，确定间隔为1 h，同步时长取24 h，利用最小二乘曲线拟合模型计算两验潮站之间的潮时差。图 3(e)为实测水位确定的潮时差的谱分析结果，体现的是潮时差变化的周期。由图 3(d)、3(e)可知，验潮站之间的潮时差也具有周期性变化，变化周期约为1 d、15 d，与调相因子的变化周期相符，若不存在分潮的调制作用，即当实验中仅存在M₂分潮时，验潮站间的潮时差为一个稳定值，不存在周期性变化，因此可认为潮时差的变化与水位之间各分潮的相互作用有关，潮时差的变化周期由分潮间的会合周期^[18]决定。另外，对A、B两站间不同时长、分辨率的潮时差确定结果进行了周期项的分析，发现1 a的潮时差数据除具有与图 3(e)中相同周期项外，还具有更长的182.5 d周期项，原因是由S₂与K₂分潮间的会合周期182.6 d所致；10 min与1 h分辨率的潮时差数据在周期项的确定上基本一致。

2.2 潮时差各时段确定结果差异分析

图 4为实验海域验潮站I相对于验潮站B整时段、逐日独立时段及逐时滑动时段潮时差确定结果的比较图。如图 4(a)所示，利用整时段确定的潮时差值接近于主分潮的潮时差^[9]，体现不出潮时差的时变现象，显然不能用较长的数据求定潮时差用于水位改正。因此，目前通常采用逐日独立时段的水位数据确定潮时差，图 4(b)、4(c)中，逐日独立时段确定的潮时差呈现阶梯形变化，而逐时滑动时段更细致地反映了潮时差的变化过程。水位观测间隔越短，滑动时段法描述的潮时差变化过程越精细，目前自动记录水位数据的压力式验潮仪水位观测间隔可达到5、6、10 min等，实例中，验潮站B、I之间潮时差10 min间隔的滑动时段确定结果与逐时滑动的结果最大相差2.35 min，平均相差0.25 min，此时利用滑动时段法确定的潮时差接近连续变化。

利用最小二乘曲线比较法分别计算逐日独立时段与逐时滑动时段的潮时差，将计算结果统计于表 2。表 2中，“中误差”表示逐时滑动时段确定的潮时差最大的中误差值；“变幅”表示逐时滑动潮时差的变化幅度，取逐时滑动潮时差最大值与最小值的差；“最大”表示逐日与逐时滑动潮时差结果差异的最大值；“平均”表示在如图 4（c）中72~216 h、432~576 h等潮时差变化迅速的时段内逐日与逐时滑动潮时差的平均差异，取两种潮时差确定结果差的绝对值的平均值。

如表 2所示，C站至D站的潮时差存在接近60 min的变化幅度，另外，C至B站的潮时差变化幅度为42 min左右，B站至I站、B站至A站、B站至D站等3组潮时差的变化幅度超过了15 min，其余各组潮时差均存在10 min左右的变化幅度，理论上顺着潮波传播方向，潮时差变化幅度较大，垂直于潮波传播方向，潮时差变化幅度较小。本文中的实验海域潮波变化复杂，在受岸线地形影响较小的开阔海域，验潮站间潮时差的变化幅度与潮波传播方向的规律还需进一步研究。表 2中，B站至I站、C站至B站、C站至D站逐日独立时段与逐时滑动时段潮时差的最大差异超过10 min，C站至D站潮时差的最大差异接近20 min，在潮时差变化剧烈的时段内，C站至B站、C站至D站潮时差差异的平均值超过了10 min，此时利用逐日独立时段计算潮时差已不合理。因此，逐日确定的潮时差只能大致反映海区验潮站之间的变化趋势，当两验潮站之间的潮时差变幅较小时尚为合理的确定值，当两验潮站之间潮时差变幅过大时，逐日潮时差的代表性较差。

2.3 时差法误差分析及改进实验

两基准站水位曲线及导数之差的关系如图 5所示。图 5中, P_A表示验潮站A经平移后的水位曲线w_A(t+rτ_AB⁰)，P_B表示验潮站B经平移后的水位曲线w_B(t+rτ_AB⁰-τ_AB⁰)，数据时长为1 d。如图 5所示，验潮站A、B的水位曲线之间存在时差，而经过平移之后曲线P_A、P_B间无时差，基准站水位曲线导数的差与待定站P的位置无关，只与基准站潮差差异有关。根据式（12），可得到以下结论：

1) 在Δw′_AB、Δτ_AB均相同的情况下，当待定站P位于基准站A、B中点时，水位改正误差最大。

在利用两个相同基准站对其连线上不同待定站进行水位改正时，对于各待定站，同一时刻的Δw′_AB、Δτ_AB均相同，水位改正效果仅与待定站与基准站之间的距离系数r(1-r)有关。已知P位于A、B之间，则0 < r < 1，因此当r=0.5时，系数r(1-r)达到最大值，即基准站A、B中点处较其他位置水位改正效果差，因为当待定站P位于中间位置时，两个基准站对水位的决定作用均较弱。

2) 当待定站距离系数及Δw′_AB相同时，潮时差确定偏差越大，水位改正误差越大。

待定站距离系数、水位曲线导数差主要由验潮站位置及海区潮汐性质等自然属性决定，而潮时差确定偏差取决于计算潮时差时水位观测时段的划分方法。

假设待定站位于两基准站中点，当Δw′_AB=3cm/min时，Δτ_AB每增加1min，水位改正误差增加约0.8cm；当Δw′_AB=4cm/min时，Δτ_AB每增加1min，水位改正误差增加1.0cm；当Δw′_AB=5cm/min时，Δτ_AB每增加1min，水位改正误差增加约1.3cm；当Δw′_AB=6cm/min时，Δτ_AB每增加1 min，水位改正误差增加1.5 cm。目前，中国水位改正的精度标准通常取为10 cm^[6]，当Δw′_AB分别为3、4、5、6cm/min时，潮时差误差的限差分别为13.3、10.0、8.0、6.7 min。

3) 当待定站距离系数及Δτ_AB相同时，基准站水位曲线导数的差相差越大，水位改正误差越大。

水位曲线的导数表示水位变化的速率，在高低潮时，水位变化较慢，导数趋于零；在涨落潮期间，导数出现极大或极小值，一般验潮站水位导数极值的大小与潮差有关。如图 5所示，在某观测时刻t处，对应相同的Δτ_AB，当两基准站潮差相差越大时，导数之差越大，水位改正偏差越大。

在本文实验海域，各验潮站之间平均潮差最大相差1.83 m，各验潮站之间水位导数最大相差约为1.86 cm/min。实验海域验潮站的潮差相对较小，但在中国一些潮汐变化较剧烈的海区，潮差可达4~7 m，甚至个别验潮站的潮差超过8 m^{[12, 19-20]}。以杭州湾的王盘山、渔山验潮站为例，在极值情况下，两站潮差之差最大可达3.37 m，涨潮期间，王盘山的水位5 min内迅速抬升了近3 m，两站水位导数之差最大可达14.7 cm/min，此时即使逐日独立时段与逐时滑动时段确定的潮时差仅相差3 min，也可导致两者水位改正结果的偏差超过10 cm。

本文采用图 1海域中的4组验潮站进行对时差法改进的实例计算，分别是：（1）A、H、I，（2）A、C、B，（3）D、H、E，（4）E、G、F，各组中前两个验潮站是基准站，最后一个验潮站是待定站，利用一个月的水位数据，分别使用逐日独立时段与逐时滑动时段确定的潮时差实施水位改正，比较两种时间采样间隔的水位改正精度，结果统计于表 3。其中，“时”表示逐时滑动时段法，“日”表示逐日独立时段法，“固”表示一个月整时段确定的潮时差固定值，max表示两种潮时差确定方法下水位改正值与实测值最大互差，$\hat \sigma $表示水位改正值与实测水位的拟合中误差^[21]，即$\hat \sigma = \sqrt {\left[ {VV} \right]/\left( {n - 1} \right)} $其中[VV]表示待定站水位改正值与实测水位残差的平方和。

表 3的4组实验中，逐时滑动潮时差的水位改正结果与实测水位的最大互差均小于逐日独立时段潮时差的水位改正与实测水位的最大互差。在第3组实验中，逐时滑动的潮时差水位改正结果与实测水位的差值均在10 cm以内，说明使用逐时滑动确定的潮时差得到的水位改正值与实测水位足够接近，利用逐时滑动潮时差进行水位改正改善了水位差异的极值情况。第4组实验中由于基准站与待定站的位置相对于其他组实验都较近，因此两种时段划分方式下的潮时差水位内插结果精度接近，但均比一个月整时段的潮时差水位改正结果的精度高。在中误差方面，4组实验中逐时滑动方法的中误差均小于逐日方法的中误差，而且逐时滑动潮时差的水位改正中误差比逐日独立时段确定的潮时差缩小近一倍。《海道测量规范》^[22]中关于用多项式拟合实测水位的精度要求为水位拟合的中误差不大于3 cm，可认为表 3中逐时滑动潮时差的水位改正结果已达到验潮站水位记录成果的精度要求，逐时滑动法确定的潮时差在水位改正中起到了提高精度的作用。

在利用时差法实施水位改正之前应对待定站位置、验潮站潮差、水位变化速率、潮时差变化幅度等情况进行具体分析。当基准站潮差相差较大或者潮时差变化剧烈或者对水深测量成果具有较高精度要求时，应该顾及潮时差的时变特性，利用逐时滑动时段法确定潮时差实施水位改正；当测深海区潮差变化较小且对测深成果精度要求足够宽松时，可采用传统的时差法实施水位改正，但为了水位改正结果的科学性，仍建议考虑潮时差的变化影响。

3 结语

本文利用分潮合并原理分析了潮时差时变现象与分潮会合周期的关系，比较了逐日独立时段与逐时滑动时段确定潮时差的差异，逐时滑动时段法确定的潮时差能够更细致地反映潮时差变化过程，对时差法水位改正进行了误差分析，时差法水位改正误差与待定站位置、基准站水位曲线导数差、潮时差确定偏差有关。实验分析结果表明，利用逐时滑动时段确定的潮时差实施水位改正时，理论及精度方面较传统方法均有所完善和提高。关于潮时差变化幅度与潮波传播的关系及如何对时差法水位改正进行合理的精度评估还需进一步研究。