自1910年底特律河铁路隧道建成以来，沉管隧道已有近110 a的发展历史^[1]，但直到1999年丹麦-瑞典厄勒通道4.1 km长的隧道完工，才标志着第一座真正意义上离岸跨海沉管隧道的出现^[2]。2005年建设的韩国釜山-巨济通道，沉管隧道部分长3.3 km，是第二座沉管浮运和安装对接均在开敞海域完成的沉管隧道^[3]。2017年贯通建成的港珠澳大桥沉管隧道是世界上又一座外海沉管隧道，长6.7 km^[4]，是中国第一座、也是目前世界上最长的已贯通沉管隧道。

港珠澳大桥是集桥、岛、隧于一体的超大型跨海通道，岛隧工程是其施工控制性工程，包括沉管隧道和东、西人工岛3大部分（见图 1）。其中，沉管段长5 664 m，由33个管节和最终接头组成，标准管节长180 m，自西往东分别是E₁~E₃₃，最终接头位于E₂₉和E₃₀之间，最终接头的西侧为直线，东侧为曲线^[5]；东、西人工岛位于沉管隧道两端，实现桥、隧转换，面积约200 m×600 m^[6]。与矿山法和盾构法等隧道不同，沉管隧道是由预制好的管节浮运至施工区域沉放安装、相互拼接而成。与暗挖法隧道相比，沉管隧道不仅要对不同施工面的最终贯通偏差进行控制，还要评估每一个管节的安装效果，为后续管节的安装提供指导，这无疑对贯通测量提出了更高的技术要求。

目前，沉管隧道贯通测量尚无规范及标准可供参考，现行的《工程测量规范》《公路勘测规范》和《高速铁路工程测量规范》对相向开挖长度4~7 km的隧道，横向贯通限差要求为130~150 mm，而港珠澳大桥沉管隧道提出了70 mm的横向贯通限差控制要求，其精度远高于现行规范的规定。因此，为保障海上长距离沉管隧道的高精度贯通要求，有必要开展沉管隧道施工控制网布设研究。本文首先根据测量误差分配理论，充分考虑沉管隧道工程实际情况，合理分配并确定地面控制测量和隧道内西、东岛侧控制测量引起的横向贯通误差；然后利用横向贯通误差估算方法，研究隧道外GPS网和隧道内构建的双线形联合锁网引起的总横向贯通误差，以确保70 mm的横向贯通限差控制要求，并结合陆地上1:1模拟试验和工程应用进行了验证。

1 横向贯通误差的分配

沉管隧道横向贯通误差由隧道外控制测量、隧道内控制测量、管节标定测量等几部分引起。管节标定测量可在预制厂内进行，标定点距离控制点较近，环境稳定，其测量误差影响容易控制，可忽略不计，所以沉管隧道横向贯通误差主要由隧道外控制测量和隧道内控制测量引起。港珠澳大桥沉管隧道从东、西人工岛相向施工，一个贯通面，由横向贯通限差70 mm可得其横向贯通误差m为±35 mm，以此作为贯通测量精度设计的依据。

1.1 隧道内外控制测量引起的横向贯通误差分配

设隧道外与隧道内控制测量引起的横向贯通误差分别为m_s和m_u，且m_s和m_u相互独立。令m_u=km_s，则：

${m^2} = m_u^2 + m_s^2 = m_s^2\left( {1 + {k^2}} \right)$

(1)

实际中，隧道外控制测量采用GPS网，隧道内为狭长型边角网。与隧道内控制测量相比，隧道外控制测量引起的横向贯通误差相对偏小，甚至可以忽略^[7]。为便于比较，对k取不同值，可得m_s和m_u的分配关系(见表 1)。

分析表 1不难发现，当k≥3时，k值继续增大，m_u变化幅度不大，但对m_s依然有影响。如k值由3增大到4，m_u仅增大2.4%，而m_s的变化有23.4%。可见，当k > 3时，既不能有效缓解隧道内精度控制的难度，又会对隧道外控制测量造成过高的要求。所以，k=3较为适宜，即按1:3的比例对隧道外和隧道内进行横向贯通误差分配，可得m_s=±11.1 mm，m_u=±33.2 mm。

1.2 隧道内两端控制测量引起的横向贯通误差分配

考虑到沉管隧道的贯通面不在中间，贯通面至西人工岛隧道口的距离S_w为5.6 km，至东人工岛隧道口的距离S_e为1.1 km，设西岛端和东岛端隧道内控制测量引起的横向贯通误差分别为m_u1和m_u2，隧道内横向贯通误差m_u的一种简化算法为^[8]：

${m_u} = 0.6{n^{3/2}} \cdot S \cdot {\sigma _\beta }$

(2)

式中，n为导线的边数；S为导线边的长度；σ_β为测角误差。取西岛端的导线边长S₁=0.72 km，导线边数为n₁，东岛端的导线边长S₂=0.18 km，导线边数为n₂，则：

${S_w} = {n_1} \cdot {S_1} = 0.72{n_1}$

(3)

${S_e} = {n_2} \cdot {S_2} = 0.18{n_2}$

(4)

令m_u1=tm_u2，由式(2)有：

为进一步比较，也可以通过对t取不同的值来分析m_u1和m_u2的分配关系(见表 2)。由表 2可见，t≥3时，随着t的增大，m_u1变化渐缓，而m_u2减小较快。这表明过度提高东岛端隧道内控制测量的精度，无助于改善西岛端隧道内控制测量的难度。

可见，简单地按式(2)简化算法来推算隧道内横向贯通误差m_u1和m_u2的分配关系并不恰当。因此取t=3，即西岛侧和东岛侧按3:1的比例进行横向贯通误差分配，其结果为m_u1=±31.5 mm，m_u2=±10.5 mm。

最终确定出地面控制测量和隧道内西、东岛侧控制测量引起的横向贯通误差分别为±11.1 mm、±31.5 mm和±10.5 mm。

2 横向贯通误差估算方法 2.1 地面控制网引起的横向贯通误差

如图 2所示，J、C为隧道进出口的控制点，A、B为其对应的定向点，G为贯通点，且工程坐标系y轴与隧道贯通面垂直。假设定向边与进洞方向的连接角和隧道内控制测量不存在误差，分别从隧道进口控制点J和出口控制点C推算出贯通点G_J和G_C，且G_J和G_C不重合，其横坐标差的中误差即是地面GPS网引起的横向贯通误差影响值。影响值的权函数式d(ΔX_G)为^[9]：

$\begin{array}{l} {\rm{d}}\left( {{\rm{\Delta }}{X_G}} \right) = - \left( {1 + {b_{JA}}{\rm{\Delta }}{y_{JG}}} \right){\rm{d}}{x_J} - {a_{JA}}{\rm{\Delta }}{y_{JG}}{\rm{d}}{y_J} + \\ {b_{JA}}{\rm{\Delta }}{y_{JG}}{\rm{d}}{x_A} + {a_{JA}}{\rm{\Delta }}{y_{JG}}{\rm{d}}{y_A} - {b_{CB}}{\rm{\Delta }}{y_{CG}}{\rm{d}}{x_B} - \\ {a_{CB}}{\rm{\Delta }}{y_{CG}}{\rm{d}}{y_B} + \left( {1 + {b_{CB}}{\rm{\Delta }}{y_{CG}}} \right){\rm{d}}{x_C} + {a_{CB}}{\rm{\Delta }}{y_{CG}}{\rm{d}}{y_C} \end{array}$

(5)

式中，Δy_JG=y_G-y_J；Δy_CG=y_G-y_C；a_JA、b_JA、a_CB、b_CB是方位角α_JA、α_CB微分式的系数，可以根据J、C、A、B点的坐标计算得到。

2.2 隧道内控制网引起的横向贯通误差

隧道距离较长、精度要求较高时，隧道内导线常布设成导线网的形式，式(2)不再适用，需要采用严密估算方法对横向贯通误差影响值进行估算。首先，根据控制网网型和工程设计图纸确定控制点的位置，推算各网点的概略坐标值，假设进洞点和定向点不存在误差，根据选用仪器的精度，模拟各边边长和角度观测值。然后，根据最小二乘原理，对隧道内控制网模拟观测值进行平差：

${\mathit{\boldsymbol{\hat x}}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Pl}}$

(6)

${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\hat x\hat x}} = \sigma _0^2{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\hat x\hat x}} = \sigma _0^2{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}$

(7)

式中，${\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}$是t个未知点坐标参数向量的估值；A是n×t阶的系数矩阵；P是权阵；l是n维观测向量；σ₀²是单位权方差；${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\hat x\hat x}}$和${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\hat x\hat x}}$是未知点坐标参数向量的方差阵和协因数阵。最后，分别由进口端和出口端隧道内控制测量得到贯通点G'和G″，D_G是方差阵${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\hat x\hat x}}$的子矩阵，为：

${\mathit{\boldsymbol{D}}_G} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{x'}^2}&{{\sigma _{x'y'}}}&{{\sigma _{x'x''}}}&{{\sigma _{x'y''}}}\\ {{\sigma _{x'y'}}}&{\sigma _{y'}^2}&{{\sigma _{y'x''}}}&{{\sigma _{y'y''}}}\\ {{\sigma _{x'x''}}}&{{\sigma _{y'x''}}}&{\sigma _{x''}^2}&{{\sigma _{x''y''}}}\\ {{\sigma _{x'y''}}}&{{\sigma _{y'y''}}}&{{\sigma _{x''y''}}}&{\sigma _{y''}^2} \end{array}} \right]$

(8)

贯通点G'和G″相对误差椭圆的长半轴E和短半轴F分别为：

${E^2} = \frac{1}{2}\left( {\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 + \sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2 + \sqrt {{{\left( {\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 - \sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2} \right)}^2} + 4{\sigma _{{\rm{\Delta }}x{\rm{\Delta }}y}}} } \right)$

(9)

${F^2} = \frac{1}{2}\left( {\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 + \sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2 - \sqrt {{{\left( {\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 - \sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2} \right)}^2} + 4{\sigma _{{\rm{\Delta }}x{\rm{\Delta }}y}}} } \right)$

(10)

式中，

$\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 = \sigma _{x''}^2 + \sigma _{x'}^2 - 2{\sigma _{x'x''}}$

(11)

$\sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2 = \sigma _{y''}^2 + \sigma _{y'}^2 - 2{\sigma _{y'y''}}$

(12)

${\sigma _{{\rm{\Delta }}x{\rm{\Delta }}y}} = {\sigma _{x''y''}} - {\sigma _{x''y'}} - {\sigma _{x'y''}} + {\sigma _{x'y'}}$

(13)

长半轴与x轴的夹角φ为：

${\rm{tan}}\left( {2\varphi } \right) = \frac{{2{\sigma _{{\rm{\Delta }}x{\rm{\Delta }}y}}}}{{\sigma _{{\rm{\Delta }}x}^2 - \sigma _{{\rm{\Delta }}y}^2}}$

(14)

贯通点G^'和G^″的相对误差椭圆在贯通面上的投影长度的一半即为横向贯通误差影响值，贯通点G'和G″的点位误差椭圆在贯通面上的投影长度的一半为单侧隧道内控制网引起的横向贯通误差影响值。

3 隧道外控制网的布设及其对横向贯通误差的影响

港珠澳大桥隧道工程采用隧道工程坐标系，其投影高程面为正常高-20.0 m^[10]。隧道外控制网采用GPS网，以指导东、西人工岛和沉管隧道的施工。

由于工程远离陆地，附近均为开敞海域，不具备布设稳定控制点的条件。为给东、西人工岛快速筑岛和岛上前期施工提供定位控制基准，首先在东、西人工岛中轴线北侧约300 m海域处各建造了一个测量平台，在平台上各设置一个GPS临时参考站(XP01、DP01)和一个控制点(XP02、DP02)，并均与大桥首级控制网联测，作为隧道外控制网的起算点；其后在东、西岛测量平台间增设了两个新的测量平台，各布设一个控制点(1P01、2P01)。除测量平台外，隧道外控制点仅能在面积有限且不稳定的人工岛^[11]上布设，点位多在岛壁钢圆筒及副格上，控制网如图 3所示。所有控制点建造有固定观测墩和强制对中装置。

沉管隧道GPS控制网有两个特点：(1)东西跨度大，长、短基线边相差悬殊，最短基线不足100 m，最长基线超过7 km；(2)岛上GPS点更新频繁，点位不稳定，不能长期保留^[12]。为保障隧道外GPS网的精度，采用标称精度优于±(3 mm+0.5×10^-6 m)，与GPS点相同数量的双频GPS接收机进行72 h同步观测，根据广播星历分时段解算。GPS网每季度复测一次，每月检测一次，参照《公路勘测规范》中二等GPS控制网的标准实施，具体精度指标为：最弱点点位中误差小于等于±5 mm，长度小于300 m的基线最弱边边长相对中误差不作具体要求，长度大于300 m的基线最弱边边长相对中误差小于等于3.3×10^-6 m，跨海最弱边边长相对中误差小于等于1.0×10^-6 m。为确保GPS网测量结果的可靠性，对人工岛上通视的短基线采用全站仪进行检核。至2017年沉管隧道贯通，隧道外GPS网共进行了17次复测，复测成果（见图 4）满足控制网的精度指标要求，最弱点点位中误差小于2 mm，长度大于300 m的基线最弱边边长相对中误差小于3.1×10^-6 m，跨海最弱边边长相对中误差小于0.5×10^-6 m。

按照式(5)，对图 3所示的隧道外GPS网引起的横向贯通误差m_s'进行估算，选用不同的定向点，估算结果在±(9.4~10.6) mm之间。m_s'取最大值±10.6 mm，满足±11 mm的贯通误差分配要求。

4 隧道内双线形联合锁网的构建及其对横向贯通误差的影响

隧道内高精度平面控制网有交叉双导线网和全导线网等布设方式^{[9, 13-14]}。沉管隧道内通视距离可以达到4~5个标准管节，贯通面西侧每4个管节设置一对控制点，东侧受平面线形曲率影响，每个管节设置一对控制点。隧道内控制网的角度和距离观测精度分别为±0.5″和±(1 mm+1×10^-6 m)。按照§2.2隧道内控制网引起的横向贯通误差严密估算方法，对交叉双导线网和全导线网进行精度估算，结果见表 3。可以发现，交叉双导线网和全导线网在精度上都不能满足横向贯通误差的分配要求，必须进行隧道内控制网布设方案设计研究。

按照控制网优化设计方法^[15]，${Q_{\hat x\hat x}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}$，提高控制网的精度可以从优化设计矩阵A和改变权阵P两方面着手。在角度和边长均具有较高观测精度的条件下，本文从增加设计矩阵A的维数（行和列）入手进行隧道内控制网的优化设计，以提高隧道内控制测量的精度和可靠性。具体为:添加新的控制网点，以增加A的列数，添加新的观测量，以增加A的行数，从而改善控制网网形，增强控制网图形结构。

沉管隧道采用两孔一管廊结构，如图 5所示，左、右两侧为主行车孔，中间为包括排烟通道、安全通道、电缆通道的中管廊，横截面宽37.95 m、高11.4 m。每个管节安全通道左右侧墙均设置有安全门，行车孔之间可通视。为充分利用沉管隧道的内部空间和两行车孔结构，以理论精度最高的全导线网为基础，在另一个行车孔对称布设全导线网。根据两个行车孔的控制点是否通过安全门形成短边联系测量，新网有两种布设方案（见图 6）。(1)方案1：双全导线网，两个全导线网仅在最末端进行联系，相互校核；(2)方案2：双线形联合锁网，两个全导线网的每一对控制点都进行短边联系测量。短边角度测量受仪器本身的误差影响，对中误差和觇标照准误差影响较大，角度观测值误差易超限，只进行边长测量。

以点位精度为指标，对两种布设方案进行精度评估，结果如图 7所示。可以发现，两种网型的精度相当，没有明显差异。鉴于双线形联合锁网增加了短边联系测量，多余观测更多，图形结构更强，选择布设双线形联合锁网进行沉管隧道内控制测量。对双线形联合锁网引起的横向贯通误差进行严密的理论估算，总横向贯通误差m_u'为±30.51 mm，贯通面西、东侧控制网引起的横向贯通误差m_u1'和m_u2'分别为±30.17 mm和±4.57 mm，满足误差分配要求。与全导线网相比，双线形联合锁网引起的横向贯通误差m_u'、m_u1'、m_u2'分别减小30%、30%和36%。

双线形联合锁网中，直线段每4个管节布设一对控制点，长边边长约720 m，曲线段每个管节布设一对控制点，长边边长约180 m；同行车孔一对点间距约11 m，点间连线距洞壁1.5 m以上，两行车孔外侧点间距30 m左右；控制点建造固定观测墩，并设强制对中装置。

东、西人工岛隧道口附近，每个行车孔对应一个进洞点，每个进洞点后视3个定向点，进洞点和定向点均为隧道外控制点。每次管节安装前进行双线形联合锁网复测，为管节安装提供指导。隧道外控制网外业观测结束后随即进行第一站进洞测量。

综上所述，隧道外布设GPS网，隧道内布设双线形联合锁网，引起的横向贯通误差$m{\rm{'}} = \pm \sqrt {{{\left( {{m_s}{\rm{'}}} \right)}^2} + {{\left( {{m_{u1}}{\rm{'}}} \right)}^2} + {{\left( {{m_{u2}}{\rm{'}}} \right)}^2}} = \pm 32.3$，满足工程70 mm的横向贯通限差要求。

5 沉管隧道施工控制网布设试验与工程应用 5.1 模拟试验分析

为验证上述沉管隧道施工控制网的布设方法，确保其适用于外海长距离沉管隧道施工控制测量要求，在陆地上实施了1:1的模拟试验工作。试验场地为中国珠海市金湾区升平大道，场地平、纵线形与港珠澳大桥沉管隧道相似，分双向四车道，长约7 km，宽约18 m，中间有低矮绿化带，可以左右通视，满足模拟试验需求。

试验场地两端布设完整的GPS网，贯通面两侧分别布设双线形联合锁网，上下行线各设置一个贯通点(G₁、G₂)。为验证贯通测量的可靠性，对贯通点进行GPS网联测。每个贯通点可获得3套坐标，分别为GPS测量值(X_GPS, Y_GPS)、东侧双线形联合锁网测量值(X_e, Y_e)和西侧双线形联合锁网测量值(X_w, Y_w)。GPS网和双线形联合锁网外业观测技术参数与工程实际要求一致。试验结果如表 4所示，两个贯通点的坐标差和横向、纵向贯通误差均小于1 cm，贯通精度明显优于理论估计值。

试验结果表明，本文研究的沉管隧道施工控制网布设方法能够满足港珠澳大桥沉管隧道施工控制要求。

5.2 工程应用效果

首先以沉管隧道最终贯通前，贯通面西侧双线形联合锁网某次的实测数据为例，分析其实际测量精度和可靠性，并与单行车孔的全导线网进行对比。外业观测采用标称精度测角±0.5″、测距±(1 mm+1×10^―6 m)的全站仪进行，角度观测12测回，边长进行对向观测。双线形联合锁网和单侧行车孔全导线网的基本信息如表 5所示。

点位精度分析结果如图 8所示，双线形联合锁网的点位误差小于全导线网；与全导线网相比，双线形联合锁网的点位精度提高15%~30%，测量距离越远，点位精度提高的幅度越大，与理论估算结果吻合。

测量控制网的内部可靠性和外部可靠性指标均与多余观测分量r_i有关，因此选r_i为内、外部可靠性的公共指标^[16]：

${r_i} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vv}}}}\mathit{\boldsymbol{P}}} \right)_{ii}}$

(15)

式中，Q_vv为：

${\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\mathit{\boldsymbol{vv}}}} = \mathit{\boldsymbol{Q}} - \mathit{\boldsymbol{A}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PA}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}$

(16)

采用平均多余观测分量r作为控制网的整体可靠性指标，r=r/n，其中：

$r = \mathop \sum \nolimits^ {r_i}$

(17)

按照可靠性评价指标，对双线形联合锁网和单行车孔全导线网进行可靠性评估，结果见图 9。图 9中，前半部分为角度观测值，双线形联合锁网与全导线网的角度观测值位置和数量相同，每个观测值的多余观测分量一致；后半部分为边长观测值，双线形联合锁网与全导线网相比，增加了行车孔之间的短边联系测量，边长观测值的数量增多，观测值的多余观测分量略有提升。双线形联合锁网和全导线网的平均多余观测分量分别为0.72和0.69 (见表 5)。与全导线网相比，双线形联合锁网的平均多余观测分量提高约4%。

沉管隧道于2017年5月完成最终接头的施工安装，横向贯通误差仅为12 mm，远小于70 mm的贯通限差要求，在远离陆地的开敞海域环境下，实现了6.7 km外海沉管隧道的高精度贯通。

6 结语

本文对港珠澳大桥沉管隧道施工平面控制网的布设技术进行了研究，提出了一种针对沉管隧道的双线形联合锁网布测方法。陆上1:1模拟试验和工程实测数据分析验证了双线形联合锁网的精度和可靠性。与全导线网相比，双线形联合锁网精度提高15%~30%，可靠性也有小幅提升。工程的最终高精度贯通结果进一步验证了本文精度设计、隧道外GPS网和隧道内双线形联合锁网布测的效果。

致谢：致谢:感谢港珠澳大桥岛隧工程项目总经理部提供的支持；感谢采集模拟试验数据和工程实测数据的工程管理、技术人员。