数字水深模型（digital depth model，DDM）是利用有限、离散的水深点实现对海底地形表面高低起伏形态的数字化表达^[1-2]。与一般强调准确表达海底地形地貌的DDM有所不同^[3-4]，航海所用的DDM（简称航海DDM），其首要需求是保证舰船的海上航行安全，其次是强调航行资源的充分表达^[5-7]。

长期以来，对于航海DDM的构建，由于其应用对象的特殊性——保证舰船海上航行安全是首要需求，通常强调“取浅舍深”原则选取水深浅点作为水深模型点，如图 1(a)所示的资料图中，通常应首先选取水深浅点，如图 1(b)中红色虚线框所示的4.1 m、3.6 m、2.3 m等水深浅点, 否则，将会严重威胁到舰船的航行安全; 其次，考虑到一味地“取浅舍深”将会降低航道资源的表达程度，因此要求在航道区域内适当采用“深浅兼顾”原则来表达可航行的航道^[8-10]，如图 2(a)所示的资料图中，水深选取时既要选取水深浅点，又要选取一定的反映航道资源的深水深点，如图 2(b)中红色虚线框所示的10.2 m、11 m、11.2 m 3个水深点。如果一味采用“取浅舍深”而不选取上述3个水深点，将会损失航道资源，如图 2(c)所示。

然而，这种传统方法由于受传统人脑思维分析和手工作业技术水平的制约，其选取的水深点所构建出的航海DDM，在保证航海安全和表达可航行资源方面仍存在以下两点不足：

1）当前航海图水深所构模型难以充分保证航海安全。如图 3所示，在海图水深注记点处，水深是可以直接读取的，而当舰船航行于这些水深注记点之间的间隙区域时，通常只能根据周围的水深注记，采用某种推估方法（如常用的线性内插方法）来计算水深^{[6-7, 11-12]}。尽管水深建模中常强调“取浅舍深”选取浅点作为模型点，但在诸如暗礁、海底高山等凸形海底区域，如图 3所示为某海底暗礁（此类情况对航行安全威胁较大），由于线性化模型表面会将凸地形削平，致使模型内插水深仍比真实水深更深（如图 3中阴影区域所示），从而给水深表达在保证航海安全方面留下较大的安全隐患。虽然当这种海图水深实际应用于航海时，要在富余水深的计算中考虑测深误差对航海安全带来的影响（如图 3中U₁~U₅ 所示，其数值大小确定方法如表 1所示）^[13]，使得海图水深实际可用的部分被再度变浅，在某种程度上提高了水深表达在航海应用中的安全性^{[6, 14]}。但是对于水深点之间海底地形凸起更明显的区域内，仍会出现实际可用水深深于真实水深的情况。

2）当前航海图水深所构模型对航行资源的表达程度尚存在一定的不足。英国海道测量办公室海底数据中心通过3个海区（比例尺分别为1:100 000、1:25 000、1:75 000）的对比实验表明，与多波束原始观测数据所构建的模型相比，简单采用传统方法所建DDM变浅了3.0 m以上^[14-15]。文献[16]选用海底地形变化较为简单和复杂的两典型区域（比例尺均为1:250 000，水深变化范围分别为28~39 m、14~90 m），比较了海图水深与原始多波束水深所构建的DDM，发现当前海图水深模型分别变浅2.5 m和12.1 m。这说明传统方法所构建的水深模型会引起较大程度的水深变浅，过度地损失航道资源，这显然与现代航海信息技术下强调的高效率航行理念相违背^[17-18]。尽管在航道区域内水深选取也强调“深浅兼顾”的原则^[8-9]，但这主要还是依靠人工理解和经验分析的一种定性处理，缺少定量的计算分析作为支撑，难以准确把握模型对航道资源的表达程度。

本文针对传统方法在保证航海安全和表达航行资源方面的不足，通过分析评估建模过程中水深模型质量的变化规律，定量地调控水深建模点的密度和分布，确保最终所建航海DDM的质量既能确保航海安全的要求，又能提高航行资源的表达程度。

1 航海DDM构建 1.1 航海DDM的相关概念

航海DDM构建中所涉及的一些基本概念在文献[6]中有详细的描述，本文直接给出定义。

1）最优逼近海底表面：采用高密度、高精度的原始水深数据集所构建的水深模型面。

2）可能最浅面：根据国际海道测量标准关于水深不确定度的要求^[19]，真实海底表面以95%的置信度位于如图 4(a)中的阴影区域内，从理论上讲，该阴影区域上界由于考虑了与真实海底表面之间可能的测量误差的影响，其浅于真实海底表面的概率为1-(1-95%)/2=97.5%，称该表面为可能最浅面，如图 4(a)中虚线所示。图 4(b)中，函数ẑ=f(x, y)表示最优逼近海底表面，函数z_PS=g(x，y)表示可能最浅面，函数z′=h(x, y)表示数字水深模型面。

3）深度保证率（保证率）：在建模区域内的一点上，模型推估水深浅于（或等于）真实水深的概率，用来评估水深模型在该点上保证航海安全的质量。从理论上讲，模型在任意位置处的推估水深必须浅于（或等于）可能最浅面所表达的水深值，才能保证航海安全。也就是说，若模型在某点上的深度保证率大于（或等于）97.5%，则模型在该点上的水深能够达到航海安全保证的要求，反之则不能。

4）深度保证率的合格率（合格率）：在建模区域内的各点上，水深模型推估水深的深度保证率达到航海安全要求的百分比。

5）偏深量：在保证率未达到要求的水深点，模型推估水深深于可能最浅面水深的数值。

6）深度表达度（表达度）：模型推估水深与最优逼近海底表面水深的百分比。

7）偏浅量：模型推估水深浅于最优逼近海底表面水深的数值。

出于航行安全的考虑，航海DDM构建的基本要求是：首先必须确保所构DDM表面在建模区域内任意位置上均要浅于可能最浅面；在此基础上，应尽可能地使所构DDM表面贴近最优逼近海底表面，以表达出可航行的资源，如图 4(b)所示。

1.2 航海DDM构建的基本思想

根据航海DDM构建的基本要求，本文提出一种利用拟构模型面调控水深选取的DDM构建方法。为便于叙述，首先给出以下定义：

1）已选水深点：将原始水深数据点中已确定选取的用于构建三角网水深模型的水深点称为已选水深点。

2）待选水深点：将原始水深数据点中可选取为水深模型点的水深点称为待选水深点。

3）拟选水深点：在待选水深点中被拟选定用于分析确定其是否符合选取要求的水深点。

4）拟构模型面：用所有已选水深点和拟选水深点所构建的水深模型面。

5）影响域：如图 5(a)所示，在当前三角网内拟选一个水深点P，若将P点插入并局部重构三角网，则结构发生变化的三角形所组成的区域称为点P的影响域，如图 5(b)中点状阴影区域。

6）影响域内的拟构模型面：如图 5(b)所示，在当前三角网内拟选一个水深点P，其影响域内已选水深点有A、B、C、D和E，以这些水深点为基础，新建立一个局部的三角网模型面，称为加入点P后的影响域内的拟构模型面，如图 5(c)中阴影面所示。

航海DDM构建通常采用三角网结构。以三角网建模中逐点插入法为基础，在动态构网过程中，分析拟选水深点插入三角网后模型面在影响域内的局部变化，新建立出一个影响域内的拟构模型面，计算该拟构模型面内的保证率和表达度，并以此来判断当前的拟构模型面是否达到航海DDM构建的基本要求，从而决定拟选水深点是否可以被选取为模型点。其基本步骤如下：

1）利用所有源数据水深点构建最优逼近海底表面和可能最浅面，作为后续分析基准面。

2）在建模区域边界各顶点附近，按一定的规则（如距离顶点最近）选取出一定数量的水深点，构建初始三角网水深模型，使得三角网能够基本覆盖整个建模区域。

3）将其余的待选水深点作为检查点，计算当前所建模型在各三角形区域内的保证率是否达到规定数值（通常取97.5%^{[5-6, 20]}）。若是，则进入步骤5），反之，进入步骤4）。

4）计算当前所建水深模型在各三角形区域内的表达度，分析其是否低于某一预先设定的数值。若是，则进入步骤5），反之，进入步骤6）。

5）利用拟构模型面调控选取一个最优水深点，插入原三角网，并重构影响域内的三角网；

6）重复步骤3）~5），直至模型在各三角形内的保证率和表达度符合要求为止。

7）输出已选水深点，并利用这些水深点构建起三角网结构的航海DDM。

1.3 最优逼近海底表面的建立

由于真实的海底表面是无法获得的，此时可采用某次全覆盖、高精度的全部多波束原始观测水深数据集来构建水深模型面，用于近似地表示真实海底表面，简称最优逼近海底表面，其数学模型可表示为：

$ z=\begin{matrix} f\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right), & \left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right) \\ \end{matrix}\in D $

(1)

式中，z表示最优逼近海底表面的水深；f (x_i，y_i)表示最优逼近海底表面的数学表达式；D表示建模区域。

根据国际海道测量标准关于水深不确定度的要求^[19]，将最优逼近海底表面任意位置处的水深减去相应的不确定度数值，从而得到该位置处的可能最浅水深，将这些不同位置处可能最浅水深所形成的表面称为可能最浅面，其数学模型可表示为：

$ z'=\begin{matrix} f\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right)-u\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right), & \left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right) \\ \end{matrix}\in D $

(2)

式中，z′表示可能最浅面的水深；u (x_i，y_i)表示对应位置的不确定度数值。

1.4 初始三角网水深模型的建立

初始三角网水深模型面须尽可能充分覆盖整个建模区域，以便于后续模型面质量监控和模型点调节选取。基于此，初始三角网水深模型建立的基本方法如下：

1）假设水深建模区域的边界顶点为P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆，如图 6(a)中虚线框所示，从原始水深数据点中依次选取出距离多边形各顶点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆位置最近的水深点D、A、F、C、E、B；

2）利用选取出的这些水深点，采用逐点插入法建立起初始的水深三角网，如图 6(b)中实线所组成的三角网。

需要说明的是，水深建模区域边界一般需由人工编辑输入。考虑到区域边界顶点的数量和分布通常会影响到初始水深三角网构建的结果，即顶点过多、过密会在初始水深三角网中出现较多的狭长三角形，而模型后续在这些三角形内的质量调控相对较难, 因此，可通过限定人工输入的边界点最大个数来保证后续建模的质量。本文将其边界顶点最大数量设置为10。当然，也可根据实际情况具体设定。

1.5 模型面保证率与表达度的动态监控

建立起初始三角网后，利用各三角形内的待选水深点可实现模型面质量的动态评估。以△p₂p₄p₆为例，提取该三角形内待选水深点数据，采用文献[5]中所述方法，计算模型面在该三角网内的保证率与表达度。

保证率的计算公式如下：

$ {{\omega }_{i}}=\int_{-\infty }^{{{v}_{i}}}{\frac{1}{{{u}_{\text{De}{{\text{p}}_{\mathit{i}}}}}\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}}\exp \left[ \frac{-{{z}^{2}}}{2u_{\text{De}{{\text{p}}_{\mathit{i}}}}^{2}} \right]\text{d}z\times 100\% $

(3)

式中，ω_i表示水深点i的深度保证率；u_Depi为该点水深的垂直标准不确定度；${{v}_{i}}={{\hat{z}}_{i}}-z_{i}^{\prime }$，表示计算最优逼近水深与模型化水深的差值。

合格率的计算公式为：

$ \mathit{\Phi }=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\phi }_{i}}}\times 100\% $

(4)

式中，Φ表示深度保证率的合格率；ϕ_i表示判断模型在水深点i处的深度保证率是否合格的标记值，合格赋值1，不合格赋值0；n表示待选水深点作为检查点的个数。

模型在水深点i处的偏深量为：

$ {\delta _{{\rm{D}}{{\rm{B}}_i}}} = z_i^\prime - {z_{{\rm{p}}{{\rm{s}}_i}}}\left( {{\omega _i} < 97.5\% } \right) $

(5)

式中，δ_DBi表示模型在水深点i处的偏深量；z′_i表示模型在水深点i处的推估水深；；z_PSi表示可能最浅水深。

模型整体的偏深量为：

$ {{\delta }_{\text{DB}}}=\frac{1}{{{n}_{1}}}\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{1}}}{{{\delta }_{\text{D}{{\text{B}}_{i}}}}} $

(6)

式中，δ_DB表示模型整体的偏深量；n₁表示待选水深点作为检查点的个数。

模型面的深度表达度为：

$ \eta =\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{h}\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right)}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f}\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}} \right)}\times 100\% $

(7)

式中，η表示模型面的深度表达度；h (x_i，y_i)表示模型面的数学函数；f (x_i，y_i)表示最优逼近表面的数学函数。

模型在水深点i处的偏浅量为：

$ {{\mathit{\delta }}_{\text{SB}}}_{i}={{{\hat{z}}}_{i}}-z{{'}_{i}} $

(8)

式中，δ_SBi表示模型在水深点i处的偏浅量；${{\hat{z}}_{i}}$表示点i的最优逼近水深。

模型整体的偏浅量为：

$ {{\mathit{\delta }}_{\text{SB}}}=\frac{1}{{{n}_{2}}}\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{2}}}{{{\mathit{\delta }}_{\text{S}{{\text{B}}_{i}}}}} $

(9)

式中，δ_SB表示模型整体的偏浅量；n₂表示待选水深点作为检查点的个数。

1.6 利用拟构模型面调控水深点选取

1）水深点选取质量的评估。当模型面在某三角形内的保证率（或表达度）不达标时，需对其进行处理，即利用拟构模型面调控选取出一个合适的水深点插入原三角网中，来提高模型的保证率和表达度。根据航海DDM构建的基本要求，确定该水深点选取的基本条件如下：

（1）选取出的水深点必须能确保拟构模型面的深度保证率达到规定数值（97.5%）以上；

（2）选取出的水深点应尽可能提高所建模型的深度表达度。

上述条件中，条件(1)的的重要性高于条件（2）。

综合考虑上述两项条件，提出建模中的水深点选取算子，用来综合评估每个待选水深点的选取质量。选取算子的计算公式为：

$ {{\mathit{\gamma }}_{\mathit{j}}}={{\mathit{\Phi }}_{j}}\cdot {{\mathit{\eta }}_{\mathit{j}}} $

(10)

式中，γ_j表示选取算子；Φ_j表示拟构模型面在深度保证率方面的达标情况（即合格率）；η_j表示拟构模型面的深度表达度。

从式（10）可以看出，若Φ_j=0，即当前拟构模型面深度保证率的合格率不达标，则γ_j=0，即当前拟构模型面不能达到要求；反之，Φ_j=1，则γ_j的数值与深度表达度这项因素有关，符合条件（1）的描述要求。Φ_j越大，则表明当前拟构模型面的表达度越高，γ_j数值越大，符合条件（2）的描述要求。同时，采用两项因子的乘积，符合上述两项条件的重要性顺序。

2）水深点选取的具体实施。对于如图 7(a)、7(b)所示的三角形△ABC，采用拟构模型面和新提出的选取算子，调控水深模型点的选取，其具体实施方法如下：

（1）确定三角形△ABC的外接圆，提取出位于该外接圆内的全部待选水深点（如图 7(a)中圆点所示）。

（2）分析各待选水深点是否符合选取的两项基本条件。以待选水深点Q为例，将该点作为拟选水深点，假定该点将要插入原三角网中，确定出该点插入原三角网后的影响域多边形为ABCDE，如图 7(b)、7(d)所示。

（3）利用当前影响域内已选水深点A、B、C、D、E和拟选水深点Q，在该影响域内临时新建立起一个局部的拟构模型面，如图 7(c)、7(e)所示。

（4）将影响域内的其余待选水深点作为检查点，计算该拟构模型面深度保证率的合格率和深度表达度，并代入式(1)、(2)，得出水深点Q选取质量γ_Q，删除当前临时新建立的拟构模型面。

（5）依次将△ABC外接圆内的所有待选水深点作为拟选水深点，重复步骤（2）~（4），计算出各水深点作为拟选水深点的选取质量，选取其中质量最高的水深点，插入原三角网中。

2 航海DDM构建实验与分析

在Windows 7环境中，采用C++语言编程实现上述算法，选取如图 8所示的3块不同水深变化类型的多波束测深实验海区（其水深变化基本情况如表 2所示），采用传统方法和本文所提的利用拟构模型面调控水深点选取的构建方法（简称面控方法）来构建航海DDM。

2.1 两种方法所构DDM的整体质量分析

与传统的精度指标（反映DDM表达海底地形的准确程度）评估方法相比，文献[5, 20]所提出的深度保证率及合格率、偏深量、表达度、偏浅量等指标在评估航海DDM质量方面更为科学、合理。因此，本文采用这些指标来对比分析传统方法和本文方法所构航海DDM在保证航海安全和表达可航行资源方面的质量差异。具体的实验结果如表 3、表 4所示。

需要说明的是：传统方法是按照“取浅舍深”和“深浅兼顾”原则，来选取出水深点，构建起的三角网水深模型；面控方法是根据本文所提方法，通过拟构模型面来调控选取水深点，构建三角网水深模型。

在3块不同区域内，与传统方法相比，面控方法通过拟构模型面的分析来整体控制每个水深点的选取，确保了所构DDM的深度保证率达到航海安全保证的要求，同时能够通过定量调控水深点选取质量，优化选取出最合适的水深点，在一定程度上提高了所构DDM的表达度。

需要说明的是，表 3~4中面控方法所构DDM在建模区域内的所有检查点处，均未出现模型面估计水深大于可能最浅面水深的情况，也就是说, 模型面未出现因水深估计值偏深威胁到航行安全的情况。这也从另一个侧面反映了本文方法在保证航海安全方面的可靠性。

2.2 两种方法所构DDM在单个水深的质量分析

进一步比较两种方法所建模型在单个水深点方面的深度保证率和表达度，结果见表 5。

从表 5可以看出，传统方法虽然在某些水深点上表达度是最高的，但在这些水深点上，其深度保证率未达到97.5%这一预先设定的数值，难以达到航海安全保证要求；面控方法能在确保单个水深点的深度保证率达到97.5%的基础上，将深度表达度提高到一个较高的数值。

需要说明的是，表 5中两种方法在偏深量的评估中，均有采用“-”表示偏深量的情况，即在这些点位上模型面估计水深小于（或等于）可能最浅面水深的情况，不会对航行安全造成威胁。其中，传统方法是在部分水深点的偏深量评估上采用“-”表示，面控方法是在所有水深点的偏深量评估上均采用“-”表示，这也进一步表明了本文方法能够确保所建DDM在所有水深点上均未出现估计水深值过大的情况，而传统方法所建DDM在某些水深点上的水深估值却存在一定的威胁航行安全的情况。对于二者的模型估计水深均能保证航行安全的前提下，如表 5中区域水深编号a-2、a-3、b-3、c-1对应实验结果所示，面控方法的模型推估水深都要大于传统方法的模型推估水深，因此从选取的单个水深点的比较上，面控方法选取水深质量也要优于传统方法。

3 结语

本文提出了一种利用拟构模型面调控水深模型点选取的航海数字水深模型构建方法，通过分析、计算及实验可得：与传统方法相比，面控方法采用拟构模型面来调控水深模型点的选取，确保了所构DDM的深度保证率达到航海安全保证的要求；面控方法所建模型能在保证航行安全的基础上，通过采用选取算子来定量分析、评估水深点的选取质量，优化水深模型点的选取，从一定程度上提高了DDM的深度表达度。

当然，本文只对几种较为典型的水深变化情况进行了比对分析。对于更详细的水深变化分类和水深范围分级，以及水深数据质量对建模质量的更详细的影响规律，还有待于进一步研究。