地壳中断层(奇变源)的裂纹活动是地壳局部形变的力源基础，其活动方式由滑动和转动两部分构成。自1958年由文献^{[1, 2]}引入研究大地形变问题以来，位错理论取得了较大的发展并得到了广泛的应用^{[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]}，通过半空间均匀介质中的矩形位错理论，顾及地球曲率、层状结构的球形位错理论以及分层粘弹性位错模型，可对断层面上质点的滑动与地面形变场、应变场和重力场的关系进行定量描述和定性分析。向错理论^{[18, 19]}作为描述弹性介质中断裂面运动方式的理论，其与断层活动有关的大地形变的宏观研究逐渐得到重视。以向错理论为基础，文献^[20]推导了弹性半空间均匀介质中断层转动与地表形变的关系，补充和完善了位错理论在大地形变研究中的应用，但仅考虑了断层一维转动的情况。因此，考虑到位错理论中断层滑动的三维方式，本文以向错理论为基础，在断层一维转动与地表形变关系研究的基础上，推导了弹性半空间均匀介质中断层三维转动与地表形变的关系，对不同深度和倾角的断层以不同方式转动产生的地表位移的格林函数变化曲线进行了分析，计算了断层以不同方式转动产生的地表水平位移和垂直形变的空间分布特征。最后，对向错理论在地壳形变研究中的应用进行了讨论和思考。

弹性介质空间中断层上盘相对下盘的位移矢量可表示为^[20]：

式中，r为断层面上任一点相应旋转轴的距离；Ω为断层旋转向量；u为断层运动引起的位移。

符号上标中的正负号分别代表断层的上、下盘。位移矢量的不连续性由两部分组成，第一项a描述断层滑动部分，第二项代表由断层向错引起的位移部分，转动矢量ω代表向错的大小或强度。为研究弹性介质中奇变源(位错、向错)形变的传播关系，考虑一个均匀、各向同性、无限大的自由弹性体(体力f_i=0)，预先给定一个范性应变ε_kl^p，一般它是位置的函数，通过弹性介质中位移场u和应力场τ满足的应力-应变关系、平衡微分方程和位移-应变微分关系，文献^[19]给出了位移格林函数的张量表达式，即：

其中，dS′_k为单位面元。

式(3)为格林函数的张量解析式，δ_ij为张量积Kronecker符号；ε_lqr为爱因斯坦约定符号;μ为剪切模量；ν为泊松比。当a_l=0时，断层仅有向错；若ω_q=0，表示断层不出现向错，式(2)可简化为位错理论中由于断层滑动产生的形变。

在以断层为研究对象的局部坐标系(X轴和Y轴分别为断层走向和宽度方向，Z轴垂直于地面并经过断层左下角点向下)中讨论断层三维转动与地表形变的关系。图 1给出了断层转动的三种形式，图 1(a)为以断层的左下角点为转动中心，图 1(b)为以断层宽度方向为转动轴，图 1(c)为以断层走向方向为转动轴，ω₁、ω₂和ω₃为不同转动方式所对应的转动角。由式(1)和图 1可知，断层面相互转动过程中引起的断层面上任一点的位移量与转动矢量ω和转动方式有关。

图 1 断层转动的三种方式 Fig. 1 Three Kinds of Fault Rotation

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断层三维转动引起的断层面上任一点Q的走滑分量U₁、倾滑分量U₂和张裂分量U₃与旋转参数ω_i之间的关系为：

式中，r_i为断层面上任一点Q到相应旋转轴的距离。在各向同性介质中，滑动U_j在点(x₁,x₂,x₃)处产生的位移u_i(x₁,x₂,x₃)可表示为^[3]：

式中，λ、μ为弹性介质拉梅常数；v_k是垂直于单位面元dS的方向余弦；u^j_i是位错点处j方向上应力分量F_j在地表一点(x₁,x₂,x₃)产生的i方向的位移分量。

假设断层面上奇异点(ξ₁,ξ₂,ξ₃)在局部坐标系中的位置为(0,0,d)，通过式(6)可计算出该奇异点在地面任一点(x,y,z)处产生的位移。

向错引起的走滑分量在地面上产生的位移为：

向错引起的倾滑分量在地面上产生的位移为：

向错引起的张开分量在地面上产生的位移为：

其中，

以上为单位面元dS上的点源在地面产生的形变量。为了描述断层活动与地面位移之间的关系，对已定几何参数的有限矩形面，其位移场可通过矩形面上各点的点源表达式在矩形面上进行积分求解。考虑到解析积分的复杂性和计算的可行性，采用二维高斯-勒让德求积公式进行数值积分计算，经过计算实例验证，当节点m=6时，即可获得稳定且精度较高的解。

式中，A_k和A_j为积分系数。

断层三维转动在地表产生的位移场可通过上述位移场分量的叠加获得。

2.1 位移格林函数曲线变化特征

为了直观上理解和认识断层埋深和倾角变化对断层转动引起的不同形变场的变化特征，通过式(10)分别计算了断层埋深-地表位移和断层倾角-地表位移的曲线变化特征。为了便于讨论，本文对简单断层(表 1为断层的几何和转动参数)在地面一点处(97.5°，35.5°)由断层转动产生的地表位移格林函数变化特征进行了模拟计算，如图 2和图 3所示。

图 2 断层埋深-地表位移变化曲线 Fig. 2 Surface Displacement Due to Different Fault Depth

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图 3 断层倾角-地表位移变化曲线 Fig. 3 Surface Displacement Due to Different Fault Dip

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从断层埋深-地表位移模拟曲线变化结果可以看出，断层转动产生的地表位移与断层深度相关性明显，表现为位移分量大小随深度增加不断衰减。分析位移格林函数的张量表达式认为这种随深度变化的位移关系和断层埋深与地面之间物质的力学性质有关，向错作为内应力源，其应力场对地表位移的影响随着震源距的增加而减小。再者，变形在固体中的传递近似满足格林函数，因此，观测到的地面变形可以较好地解释较浅断层因转动产生的地表形变变化，而断层深度较深时，观测到的地表形变场变化较小，甚至没有变化，认为埋深超过150 km时断层向错产生的地表形变趋于零。

从图 2可以看出，断层深度对以不同方式转动产生的地表位移各分量有差异性影响。其中，断层深度对以图 1(a)和图 1(b)为转动方式的断层向错产生的地表位移影响较大，对以断层走向方向为转动轴的断层向错引起的地表位移曲线变化特征不明显。

图 3断层倾角与位移曲线的变化行为表明，不同转动方式产生的形变对断层倾角的变化有不同的响应，以断层角点为转动轴的断层向错对倾角的变化最为敏感；断层倾角为0°和45°时，以断层角点为转动轴的断层向错对地表形变的贡献最大。随着倾角的增加，断层向错产生引起的地表形变表现出不同的形态，变化量在几毫米至几十毫米之间，以断层角点为转动轴的断层向错产生的地表位移各分量的曲线变化较为剧烈，呈现出减小-增大-减小的变化特征。断层向错的另两种转动形式引起的形变对倾角的变化具有相似的响应特征，即形变量与断层倾角成正相关关系，但这种响应特征相对较弱。

2.2 地表形变空间分布特征

通过式(10)对表 1断层转动产生的地表形变的空间分布特征进行了数值模拟计算(图 4)，其中图 4(a)~4(c)为断层不同转动方式(对应图 1(a)~1(c))产生的地表水平位移和垂直形变空间分布图像，图 4(d)为断层存在三种转动时(三维转动)产生的地表形变。

图 4 断层转动产生的地表形变及空间分布 Fig. 4 Surface Deformation and Its Space Distribution Due to Fault Rotation

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可以看出，断层以不同轴转动引起的水平位移在数值上大小相近，断层转动产生的水平形变显著区主要集中在断层两侧附近区域，这与地震破裂过程中同震位移的近场剧烈性特征相吻合；断层向错引起的垂直形变空间分布特征与断层的转动方式有关，虽都呈现出以断层为中心的几何对称分布样式，但具有细节上的差异。图 4(d)给出了断层三维转动产生的地表形变场，在断层两侧水平位移大小相当、方向相反，断层两盘表现出不同的垂直形变机制，上盘表现出地壳的隆升，下盘呈现出地壳沉陷的垂直运动特征。图 5计算了断层滑动(走滑量200 cm，倾滑量100 cm)产生的地表形变分布，从水平速度方向看，断层转动引起的水平速度方向趋于平稳旋转，这种运动速度方向的渐进变化特征可能更符合于描述GPS观测到的中国大陆局部区域(川滇地区、河西地区等)的位移旋转运动。从宏观上看，断层向错产生的地表形变数值略大于滑动产生的形变，但具有相同的量级，空间上断层滑动引起的形变范围相对转动较为广泛。

图 5 断层滑动产生的地表形变 Fig. 5 Surface Deformation Due to Fault Sliding

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地壳形变的位错模式描述已经得到深刻的发展和普遍的认可，本文以向错理论为基础，对断层三维转动与地表形变关系进行了初步的探讨。地质构造活动特别是块体边界断裂带的活动是一种长时期、大空间跨度的变形运动，在周边块体的碰撞、挤压作用下，断层所受构造应力的分段差异性很可能会引起断层的转动。因此，弹性介质中地壳形变的向错理论分析具有一定的理论性，但客观上仍存在一定的局限，有必要对断层转动研究中存在的问题进行讨论。

1) 弹性介质中，向错有楔型向错和扭转向错，同时也有结合两种形式的混合向错^{[18, 19]}。本文初步给出了断层三种简单的转动形式与地表形变的关系，断层其他复杂的转动形式如何进行描述是值得探讨的问题，通过投影、坐标转换和线性组合等方法建立断层复杂转动与简单转动之间的关系，进而计算其引起的地表形变是可行的。

2) 式(1)表明，断层转动产生的滑动量除与转动角有关外，理论上转动轴位置的选取对地表形变同样有一定的影响。

3) 本文通过假设地壳是各向同性弹性介质体，即λ、μ为常数，来计算断层转动产生的地表形变。事实上地壳物质的岩石物理特性是各向不均匀的，那么顾及地壳不均匀结构的向错模型应是未来研究的重点。

4)由u⁺－u^－=a+r×ω可知，转动与滑动矢量共同构成了断层面上运动的不连续性，说明单一的断层转动或滑动都不能合理、严密地表达断层的活动形式。因此，断层转动与滑动组合模型研究地壳形变有着重要的意义，断层转动与滑动组合模型产生的位移可通过位移格林函数的张量表达式计算得到。

以向错理论为基础，根据弹性介质中奇变源与介质中任意点位移之间的关系，推导了弹性半空间均匀介质中断层三维转动与地表形变的关系，对不同深度和倾角的断层以不同方式转动产生的地表位移的曲线变化特征进行了分析，计算了断层以不同方式转动产生的地表水平位移和垂直形变的空间分布特征，结果表明：

1) 断层转动对地表位移的影响随着断层深度的增加不断衰减，地表位移对不同倾角的断层转动有不同的响应，其中以断层角点为转动轴的断层向错引起的地表形变受倾角的影响最为显著。

2) 断层以不同方式转动相同的量产生的水平位移和垂直形变在数值上大小相近，垂直形变的空间分布特征与断层的转动方式有关。

3) 断层三维转动与滑动引起的地表形变在数值大小上有区别，但具有相同的量级，空间上断层滑动引起的形变范围相对转动较为广泛。