月球重力场是绕月探测器的重要摄动源，其精度对探测器的精密定轨及其着陆具有重要意义^{[1, 2]}。美国于2011年9月发射了GRAIL卫星，分别解算了高达420阶次的月球重力场模型GL0420A、660阶次的模型GL0660B和GRGM660PRIM，以及900阶次的模型GL0900D和GRGM900C^{[3, 4, 5, 6, 7]}。GRAIL之前的重力场模型主要为LP系列模型^{[8, 9]}和SELENE系列模型^{[10, 11, 12]}，前者由于缺少远月面跟踪数据，在远月面的定轨性能不够；日本SELENE卫星采用高低跟踪模式，首次获得远月面重力场信号，提高了远月面重力场精度。但是由于LP和SELENE卫星轨道高度为100 km左右，无法进一步提取重力场的高阶信号，故其对绕月低轨卫星的定轨性能较差。GRAIL卫星采用了类似地球GRACE卫星跟踪卫星的模式，正常任务阶段轨道高度为50 km左右，扩展任务阶段为30 km左右，获取了全月球均匀分布的高精度星间Ka波段测量数据。与之前的重力场模型相比，GRAIL获取的重力场模型改正精度达3个量级，部分阶次(50~120阶)改进接近6个量级。中国于2007年成功发射嫦娥一号卫星，国内学者利用嫦娥一号的跟踪数据解算了50阶次的月球重力场CEGM-01^[13]，之后进一步融合LP、SELENE和其他历史跟踪数据解算得到100阶次的CEGM02^[14]，在重力场长波部分的精度有一定程度的提高。

高精度、高阶次的GRAIL月球重力场模型主要用于月球内部构造的研究，而其定轨性能目前并没有得以全面分析。因此，本文使用了660阶次的GRGM660PRIM模型，通过与历史LP150Q和SGM150j模型比较，从轨道预报和精密定轨两个角度^{[15, 16]}分析了GRAIL重力场模型的定轨性能，着重分析了GRAIL对大倾角绕月卫星的定轨能力。

为分析GRAIL重力场模型对绕月探测器轨道演化的影响，本文分别采用了20 km、50 km、100 km的轨道高度和10°、45°、89°、135°、170°的轨道倾角进行了轨道仿真计算。轨道计算使用GEODYNII^[17]软件完成，采用的动力学模型为月球中心引力、月球非球形引力摄动、N体摄动、太阳光压摄动、固体潮摄动、相对论效应等。初始轨道根数时间为2017-10-01T00:00:00，月球平均半径取1 738 km，初始轨道偏心率为0.000 5，积分间隔为30 s。

表1~表5为采用LP150Q、SGM150j和GRGM660PRIM重力场模型在上述初始条件下的仿真计算结果，表1~表5中，Δa、Δe、Δr_p、Δr_a表示运行终止时刻与起始时刻轨道半长轴、偏心率、近月点、远月点的差值；Δi表示运行终止时刻与起始时刻的平均变化率；Δt表示卫星在轨运行寿命。在仿真计算中，GRGM660PRIM重力场模型分别截断至500阶、420阶、150阶，发现截断后对轨道预报影响不大，但通过截断可以减少计算时间。限于篇幅所限，本文不列出全部计算结果。表1~表5为GRGM660PRIM截断至420阶次的结果。

由表1~表5可以看出，随着初始轨道高度降低，飞行器在轨时间急剧减少。极轨绕月卫星相对其他倾角卫星，在轨时间相对较长，对于大倾角、低轨的绕月卫星，例如170°倾角、20 km高度卫星，在轨时间极短，轨道调整难度比较大。整体上看，顺行轨道的卫星在轨时间比逆行轨道的在轨时间长，如10°、100 km轨道的卫星在轨时间为48 d左右，而170°、100 km的在轨时间仅为16 d。

GRGM660PRIM模型对20 km、50 km、100 km高度卫星的轨道寿命预报并未表现出优越性，和LP150Q、SGM150j的预报结果相当。值得一提的是,LP150Q模型对轨道倾角为45°、135°，轨道高度为100 km、50 km的卫星的轨道寿命预报和SGM150j、GRGM660PRIM的计算结果相差比较大，其原因可能为LP150Q重力场的解算数据中缺少月球背面的轨道跟踪数据，在月球背面误差比较大。图1为LP150Q重力异常图和135°倾角、50 km高度的卫星星下点轨迹图，可以看出LP150Q在月球背面存在较大的条带误差，当卫星经过月球背面时，这些误差将直接导致预报的偏差。

图 1 135°倾角，50 km高度的卫星星下点轨迹图(南北纬45°之间的红色部分) Fig. 1 Sub-satellite Points (Between 45°N and 45°S) for 135° Inclination and 50 km Height Satellites

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GRAIL卫星采用了卫卫跟踪模式，其星间Ka波段跟踪数据精度为0.1 μm/s，相比于传统S波段大约1 mm• s的精度，提高了4个数量级，基于这些全球均匀分布的高精度Ka波段星间测距数据，得到了高阶次高精度的GRAIL重力场模型，其解算目前并未使用历史跟踪数据。作为一个检核，文献[18]利用GRAIL重力场模型对LP、SELENE和LRO探测器进行了精密定轨，得到了精度更高的重建轨道，这些精密轨道将有利于其他科学数据的精化，如激光测高数据。但是这些卫星均为倾角约90°的极轨卫星，本文采用轨道倾角为170°的Apollo 16子卫星进行了精密定轨。该子卫星是Apollo 16登月任务完成后，返回地球前由命令舱在轨释放，其初始轨道高度为100 km，在轨运行34 d后撞月，期间无任何轨道机动^{[9, 19]}。通过对Apollo 16子卫星精密定轨分析，可进一步反映出GRAIL重力场模型对大倾角低轨卫星的定轨性能。

在对Apollo 16子卫星的精密定轨中，估计参数包括6个轨道根数、光压系数以及测量系统偏差，测量数据包括双程和三程Doppler测速。图2给出了利用不同模型得到的测速残差，表6为各残差的统计信息，图3为Apollo 16子卫星星下点覆盖图。

图 2 Apollo 16子卫星双程和三程Doppler测速残差图 Fig. 2 Two Way and Three Way Doppler Residuals of Apollo 16 Subsatellite

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图 3 Apollo 16子卫星星下点覆盖图 Fig. 3 Sub-satellite Points of Apollo 16 Subsatellite

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由图2可以看出，利用GRGM660PRIM模型解算的残差水平明显低于LP150Q和SGM150j，双程Doppler测速残差RMS由1.36~1.48 mm• s降低至0.722 mm• s，三程Doppler测速残差RMS由1.67~1.69 mm• s降低至1.2 mm• s。LP150Q和SGM150j对Apollo 16子卫星具有相近的定轨水平，SGM150j在月球背面精度的提高并未对Apollo 16子卫星的精密定轨产生显著影响，其原因为其背面精度的提高主要来自极轨卫星，而对于大倾角卫星的精密定轨不会产生显著的影响。同时，这两个模型的残差在5月10日至5月12日期间对应大的跳变，而利用GRGM660PRIM模型解算时没有出现这一跳变现象，主要是因为在此期间Apollo 16子卫星的近月点比较低，接近10 km(见图4)，GRGM660PRIM模型的阶次较高，更有利于较低轨道处的精密定轨。

图 4 Apollo 16子卫星在轨运行阶段轨道高度图 Fig. 4 Orbit Height of Apollo 16 Subsatellite

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为进一步反映GRGM660PRIM的定轨性能，本文选取了观测值相对密集的5月10日至5月12日三天进行了重复弧段分析，重复弧段时长为6 h，表7给出了3个重复弧段差异在径向、沿迹方向和法向3个方向上的残差RMS值。选取上述3 d的弧段进行重复轨道比较的原因是相比其他时段，这3 d的轨道跟踪数据量较为密集。由表7的结果可以看出，GRGM660PRIM在径向方向的变化幅度最小，达到亚米级，相比于LP150Q和SGM150j解算结果，残差RMS值显著减少。5月10日至5月12日期间，Apollo 16子卫星最低轨道高度达10 km，LP150Q和SGM150j模型的阶次不足以吸收该高度轨道处包含的重力场信息，定轨精度相对较差，而GRGM660PRIM的阶次比较高，可以取得较好的定轨精度。此外，利用GRAIL模型处理小倾角卫星，可以发现仍然具有很好的结果，这与文献[20]中的倾角卫星精密定轨仿真结果有所出入，也从侧面证实了GRAIL星间跟踪数据对月球重力场模型精度的显著改进。

综合上述分析可知，GRGM660PRIM对绕月低轨卫星具有更好的定轨性能，这点对我国即将发射的嫦娥5号探测器具有重要的参考意义。

本文从轨道预报和精密定轨两个角度分析了最新高精度月球重力场模型GRGM660PRIM的定轨性能，结果表明：对于轨道预报而言，GRGM660PRIM模型对20 km、50 km、100 km高度卫星的轨道寿命预报并未表现出巨大的优越性；对于大倾角低轨卫星的精密定轨，可以显著地提高其定轨精度。我国即将发射的嫦娥5号探测器需要在月球附近完成交会对接，采样返回地球，对定轨提出了更高要求，本文结论可以为我国嫦娥5号及之后的探月任务提供一定程度的参考。