目前，世界上仍有1/3的国家与邻国存在着边界与领土问题。划界谈判是处理领土争端的首要选择^{[1, 2, 3]}。在国际社会中，陆上相邻两国进行划界时，优先考虑具有分隔作用的天然地形，这不仅便于划界，也易于管理和阻挡攻击^{[4, 5]}。但是，当前的计算机辅助划界技术很少顾及天然地形，只能通过后期的手工调整来实现^{[6, 7, 8]}。该方式不仅费时费力，而且精度无法保障。因此，有必要加强划界线与实际地形自动匹配方法的研究。

划界线与实际地形的自动匹配，是指在满足一定约束条件的前提下，使已有划界线(即原划界线)自动按照与其相邻的地形特征线行走。其关键在于，应该保证匹配前后划界双方的既得利益变动尽可能小，这样才能为划界双方所接受。由于谈判划界是一项较为复杂的工作(带有浓重的政治作用，本文仅涉及划界技术)，涉及多方面因素(如面积、资源、民族、宗教等)，而成本最优路径分析^[9]可以同时兼顾多种信息。鉴于此，本文在对成本最优路径进行分析的基础上，重点研究自动匹配的基本原理；在划界法理及其他约束信息的指导下，对自动匹配的关键技术进行研究，并通过实验对匹配结果的可靠性进行评价，验证方法的科学性与可行性。

成本最优路径分析是计算离开“源”到达每个单元沿途经所有单元的累计成本，在一定条件下，选择累计通行成本最低的为成本最优路径。该分析包含两个重要步骤：成本距离计算与最优路径分析。

成本距离计算^[9]累计通行成本，最低的路径决定离开“源”到达每个单元的成本值。该过程的输入数据包括源图层与成本图层，输出数据包括成本距离图层与方向图层。其中，成本图层中每一个栅格单元的取值表示通过该单元的成本，成本距离图层中的栅格单元取值为从“源”到达该单元的最低累计成本，方向图层中的栅格单元对应最低累计成本路径上该单元的上一个相邻栅格单元。基于上述两个输出数据与目标图层，通过最优路径分析即可获得成本最优路径。

综上所述，成本最优路径分析需要的基础数据包括源图层、目标图层与成本图层。如果用原划界线与争议区的两个交点分别构建前两个图层，用地形信息、资源信息与其他约束信息构建成本图层，即可通过成本最优路径分析实现划界线与实际地形的自动匹配。因此，算法关键是构建成本图层。此外，对于成本图层中存在的“无值(NoData)”栅格单元，分析时将自动避开^[9]，故可以将成本图层中的无关栅格取值为NoData来提高分析效率。

众所周知，领土争端主要涉及面积、资源等各种利益的争夺，它们都与地理位置密切相关。如果新旧划界线在地理位置上越邻近而且相似度^[10]越高，那么双方的既得利益变动就会越小。因此，可以利用地理邻近度与相似度对匹配结果进行有效控制。

如式(1)、(2)及图 1所示，S_L与S_R分别为原划界线与新划界线包络的若干区域中位于原划界线左侧及右侧的区域总面积，L_i与L_j分别为上述若干区块中位于原划界线左侧的第i个区域及位于原划界线右侧的第j个区域。

图 1 新旧划界线的包络面积 Fig. 1 Area Surrounded by New and Old Delimitation Line

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如果两条曲线的包络面积总和 S_T与左右面积之差ΔS都比较小，那么它们的地理邻近度与相似度就会比较高。理想情况下，如果S_T与ΔS同时为0，那么这两条曲线相互重合，此时的相似度最高。但是，由于实际地形比较复杂，上述情况不可能存在。因此，自动匹配的关键在于如何对S_T与ΔS进行有效协调。

由式(3)可知，S_T与ΔS的取值存在以下三种情况：(1)确保ΔS达到最小，但此时的S_T却无法得到保证，可能导致匹配后划界双方交换的区域增大，给划界增添新的不确定性因素；(2)保证S_T达到最小，此时不仅能够确保划界双方区域交换的总量处于最低水平，还能将ΔS控制在较小的范围内；(3)确保ΔS与S_T同时达到比较小的状态，但此时如何对ΔS与S_T进行协同控制是相当困难的。综合考虑，本文主要针对情况②展开研究。

另一方面，任意区域的价值不仅取决于它的面积，还取决于它上面附着的各种资源等其他利益。研究发现，如果将式(1)~(3)中的面积S用利益B来取代，相应的式(4)~(6)依旧成立。由此可知，自动匹配过程中应该确保双方利益交换的总量B_T达到最小。设想一下，如果在自动匹配过程中忽略非特征栅格，并以每个特征栅格对应的局部利益变动作为该特征栅格的通行成本，即可通过成本最优路径分析获得利益变动总量最小的新划界线。如图 2所示，特征栅格0对应的局部利益变动为栅格0、1、2、3所占有的利益总和。

图 2 特征栅格引起的利益变动 Fig. 2 Benefit Change Caused by Features Grid

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综上所述，本文实现自动匹配的基本思路是：首先，由于匹配过程忽略非特征栅格，而且原地形特征线并不完全相交，为了去除断路，需要提前构建地形特征网络；其次，需要结合划界法理对上述网络进行特殊处理；再次，构建成本图层进行成本最优路径分析，实现划界线与实际地形的匹配。

自动匹配的关键技术包括构造地形特征网络,顾及划界法理的特殊处理与构建成本图层。此外，除了保证所有数据具备统一的数学基础外，还应该对原划界线进行裁切与延伸处理。

为便于处理，首先通过栅格叠加操作使不同的地形特征线(本文主要指山脊线与山谷线)位于同一图层T中，然后基于悬挂特征栅格进行反向追踪来构造地形特征网络。目前，针对地形特征线追踪提取的研究比较多^{[11, 12]}。鉴于本文主要对局部区域进行提取，采用抗噪能力与提取效果都较优的基于地形梯度方向的断面极值法^[13]。

如图 3(a)所示，P₀为悬挂特征栅格，P₁为与其相邻的唯一特征栅格，则P₀潜在的延伸方向依次为P₈、P ₅与P ₇^[14]，然后根据本文所选方法依次对其进行判断：若某个栅格P_j(j=8、5、7)为特征栅格，则对其进行标记；若均不是特征栅格，则对P₈进行标记。再次，以新的特征栅格作为当前特征栅格进行判断。若它是悬挂特征栅格，则按照上述方法继续追踪，否则结束本次搜索。基于上述方法构造的部分地形特征网络如图 3(b)所示。

图 3 基于悬挂特征栅格的反向追踪 Fig. 3 Reverse Search Based on Dangling Feature Grid

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由划界法理可知，争议区中往往存在着由于历史、民族、宗教、语言等因素形成的不可分割区域，以及划界双方基于军事战略等目的所形成的必争区域^{[5, 8]}。在匹配过程中，必须保证新的划界线避开上述区域并且将必争区域划归相应国家。为此，本文首先计算必争区域距离相应国家边界的最短直线路径L，然后用L的一个缓冲区(半径为一个栅格大小)以及上述两种特殊区域(如图 6(c)中的A、B、C、D、E、F所示)对地形特征网络进行擦除处理，将这些区域内部的所有栅格值设为NoData。最后，对擦除结果进行重分类，将特征栅格、非特征栅格分别赋值为1与NoData。

至此，除了地形特征栅格，所有的特殊区域及非特征栅格全部赋值为NoData。由于无值栅格会被自动忽略，因此，自动匹配过程中不仅能够使新划界线严格按照地形特征线行走，还能有效避开特殊区域，将必争区域划归到相应的国家。为了进一步降低计算量，本文将争议区以及与原划界线对应的一个缓冲区B对上述处理后的地形特征网络进行双重裁切，进一步缩小新划界线的搜索空间。

为了获得每个特征栅格所对应的局部利益变动总量(即成本)，必须首先计算出争议区内部每个栅格本身所占有的利益，获得利益分布图，然后才能将成本信息映射到该特征栅格上。

由于利益包含面积、资源等多种因素，因此，应该借助一套评价体系对各因素的重要性进行衡量，即确定各因素的相对重要性权值。目前的评价指标体系主要包括层次分析法^[15]、熵权法^[16]、模糊综合评价法^[17]等，各有优缺点。为了对每个因素的权重进行科学度量，本文采用定性与定量相结合、主观与客观相结合的熵权_AHP模糊综合评价法^[8]。权重获取过程如下：①制定一套评价指标；②运用上述方法对边界领域专家的打分结果进行处理，获得各因素的重要性权值。之后，根据式(7)计算任意栅格k所占有的利益(本文主要考虑土地面积与资源)，获得利益分布图(由争议区栅格图层与各资源栅格图层的加权叠加操作来完成)。

式中，S₀为栅格面积;ω₁为土地面积权值;ω_i为第i种资源的权值；AVE_ki为栅格k内单位面积所包含的第i种资源量。

每个特征栅格所对应的局部利益变动不仅包含其本身所占有的利益(通过地形特征网络图层与利益分布图层的栅格乘法运算获得)，还包括相关普通栅格所占有的利益，具体过程如下。

如图 4所示，对于每一条特征栅格链 P(0,1,2,3)(其首末端点的8邻域栅格数目≥3)，首先通过其与原划界线的包络区域获得落在该区域内部的利益栅格集合L(不包括P的首末端点)，然后计算集合R所占有的利益总量，并将其平均分配到P中除首末端点以外的每个特征栅格所占有的利益当中。此时，P中所有特征栅格占有的利益总和就是该特征栅格链所引起的局部利益变动总量。值得注意的是，如果某个利益栅格与包络区域的叠加面积小于栅格面积的一半，则认为其位于包络区域外部。

图 4 成本信息映射 Fig. 4 Mapping of Cost Information

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最终，以原划界线与争议区的两个交点分别构造源图层与目标图层，辅以成本图层进行成本最优路径分析，即可获得利益变动总量最小的新划界线。自动匹配的完整流程如图 5所示。

图 5 自动匹配流程 Fig. 5 Technological Process of Automatic Match

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为了验证本文自动匹配方法的可靠性，基于ArcToolbox与Module Builder根据图 5所示流程构建了相应模型，采用C#语言与ArcEngine进行二次开发，通过对上述模型进行调用以及对部分模块(图 5中阴影部分)进行编码实现，完成了划界线与实际地形的自动匹配功能，并通过相关数据进行实验，对实验结果进行评价。

由于划界问题的敏感性，本文根据我国目前的边界现状，模拟了具有代表性的高山地区若干数据。其中，争议区、原划界线及特殊区域(包括双方必争区域与不可分割区域)为模拟数据；DEM数据(http://gdem.ersdac.jspacesystems.or.jp/)大小为3 506行×4 678列，栅格尺寸为30 m×30 m；比例尺为1∶10万，通过矢量转栅格操作及细化操作获得栅格形式的山脊线与山谷线，栅格尺寸与DEM数据一致；资源数据(主要包括水资源、原油、煤与铁矿石)参照《国际统计年鉴2013》通过模拟获得；土地面积及各种资源重要性权值由边界研究领域专家进行打分及处理获得，见表 1。

基于不同区域的模拟数据，本文分别进行了自动匹配实验，部分实验截图如图 6所示。

图 6 自动匹配实验 Fig. 6 Experiment of Automatic Match

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如图 6(c)中放大部分所示，由于新划界线完全由地形特征线组合而成，因此能够与实际地形严格吻合。其次，新划界线没有穿越特殊区域，而且能够顾及双方的必争区域。从划界法理的角度来看，本文的自动匹配方法是可行的。

为了对实验结果的可靠性进行精确评价，笔者选取若干指标将匹配前后的相关数据列于表 2中，其中面积单位为km²，利益为无量纲值(由面积与资源的加权平均值构成)。由表 2可知，实验前后，双方利益变动均比较小(最大时占争议区综合利益值的1.62‰，如实验2中甲方利益变动)，因为自动匹配过程能够综合考虑面积以及其他资源的相互影响。在面积变动方面，如果资源分布比较均匀，大部分情况下均能将其控制在较小范围内(如实验1、2、4、5)；相反，如果资源分布相对集中且权值比较大，可能会对面积变动产生较大影响。如实验3所示，匹配后乙方失去的面积为2.35 km²，占争议区总面积的1.01%，因为其获得了较多的资源，为了平衡利益，必然会牺牲面积作为代价。对此，笔者建议，如果划界双方比较重视土地面积，同时某种资源分布比较集中且权值较大，可以在专家的指导下适当增大面积的权值，使其在匹配过程中得到充分体现。

本文研究已经成功应用于某划界谈判系统当中，并得到相关部门的认可。

本文从划界线与实际地形匹配的需求出发，对基于成本最优路径的自动匹配基本原理进行探索，并对其关键技术展开研究。首先基于悬挂特征栅格的反向追踪构建地形特征网络，在划界法理的指导下对其进行特殊处理。然后，通过构造利益图层以及进行成本信息的映射获得成本图层。最后，基于成本最优路径分析实现了划界线与实际地形的自动匹配。实验证明，能够在满足划界法理的前提下保证匹配前后双方的绝大部分利益不发生变化，因此能够为划界工作提供较为科学的参考。但是，如何确保双方利益变动最小化仍有待进一步研究。