随着极区越来越受到国际的关注，我国也日益重视极区考察工作。选择合适的投影方式对绘制极区地形图或航行所需航海图至关重要^{[1, 2, 3]}。日晷投影是常用于高纬度地区航行的一种投影方式，它的主要特点是大圆航线在投影面上表现为直线，不过它是任意投影，即无论是方向上还是距离上都有较复杂的变形^{[4, 5, 6]}。高斯投影在中央经线附近变形较小且具有保角性质，常被我国作为地形图的数学基础^{[7, 8]}。但是，传统的高斯投影常被表示为分带形式，使得地球被分成以南北极为端点的多条狭窄条带。针对这种情况，国内学者曾推导出高斯投影复变函数表示式，该表达式使得高斯投影不再受限于带宽，但由于等量纬度在极区的奇异性导致投影公式在极区难以应用^{[9, 10]}。鉴于此，文献^[11]曾推导出球面高斯投影与横轴墨卡托投影的等价性，则可得球面高斯投影的闭合公式。该闭合公式虽形式紧凑且不受限于带宽，却在极区出现奇异现象。因此，本文以高斯投影闭合公式为基础，推导了可用于南极与北极地区的球面高斯投影极区非奇异公式，并基于该公式对极区高斯投影进行变形分析及一些重要方程的推算。最后，与日晷投影进行比较，可知极区非奇异高斯投影公式可为极区地图的绘制提供重要参考。

1 高斯投影极区非奇异公式及日晷投影公式

考虑到球面高斯投影与横轴墨卡托投影的等价性，则球面高斯投影公式可表示为：

式中，r、 φ,λ 与(x,y)分别表示地球半径、点的球面坐标及其在投影平面上的坐标。由式(1)易知，当φ→π/2，tanφ→∞时，投影公式存在奇异，这就使得极区投影具有不连续的特点。此外，采用该公式在极区进行作图时还要考虑λ的取值而选择不同的投影公式。

为解决该公式的奇异问题，将投影后的极点作为原点，可得式(2)：

记θ=π/2－φ，考虑λ的范围及满足反三角函数相互关系的条件，分别针对式(2)中x方向的投影公式进行讨论。

当 |λ |<π/2时，有secλ>0，即tanφsecλ>0，利用关系arctanx=π/2－arccotx及当x>0时，有arctanx=arccot 1/x ，此时，

当 |λ |>π/2时，secλ<0，即tanφsecλ<0，此时，利用关系式arctanx=arccot 1/x 以及arctanx=－arctan －x ，可对x作如下变形：

由式(3)、(4)可以看出，针对不同范围的λ，其改进后x方向投影公式经简化后是连续统一的，且该投影公式在极区范围内不存在奇异点，克服了传统公式在极点奇异的缺点。

另外，在极区范围内，有 cosφsinλ <1，利用反双曲正切函数的定义及其对数表达式y=ln[(1+x )/(1－x)]/2 |x |<1 ，可以得到y=arctanhx，可对y方向投影公式作如下变形：

即得极区高斯投影非奇异公式，可统一表示为：

从式(6)可以看出，改进后的投影公式在极区已不存在奇异问题，而且满足极区高斯投影公式统一，而无需分别考虑λ的范围。以0°E为中央经线，可借助Geocart软件绘制出以极点作为投影平面中心的极区连续投影图，如图 1所示。

图 1 北极圈内高斯投影示意图 Fig. 1 Diagram of Gauss Projection in Arctic Circle

图选项

根据文献^[8]可知，日晷投影是视点位于球心的透视投影，它的投影公式为：

同样地，借助Geocart软件可绘制出北极圈内的日晷投影示意图，如图 2所示。

图 2 北极圈内日晷投影示意图 Fig. 2 Diagram of Gnomonic Projection in Arctic Circle

图选项

由图 1、2可以看出，采用高斯投影及日晷投影分别将地球表面投影至平面上，在北极圈范围内，这两种投影的效果很相似，它们的经纬网形状非常接近，即高斯投影的经线近似为直线，纬线圈近似为圆形。

为验证这两种投影在极点附近非常接近，可借助计算机代数系统^[12]将两种投影的公式展开成关于余纬度 θ的幂级数形式，整理后可得高斯投影公式表示为：

相应地，日晷投影公式可表示为：

对式(8)、(9)进行对比可以发现，将两种投影的公式展开成关于余纬度θ的幂级数形式后，两种投影对应坐标的主项相等，其中，纵坐标展开式中的第二项差异值为θ³cos³λ/3，相应横坐标的第二项差异值为θ³(－3sinλ+sin³λ)/6。由此可知，当余纬度很小时，这两种投影对应的坐标值很接近。当余纬度保持不变时，点越靠近中央子午线，两种投影的纵坐标差异值越大，而对应横坐标差异值越小。

2 极区高斯投影与日晷投影的比较 2.1 极区高斯投影经纬线方程

在平面上建立经纬网作为地图的数学基础，是研究地图投影的首要目的。根据极区高斯投影非奇异公式，可以推导出极区经纬线投影方程。将式(6)做如下变形：

顾及到对任意λ都有cos²λ+sin²λ=1，将式(10)中与λ有关的量移到方程式一边，两等式经平方后求和，即可得纬线圈投影方程：

利用计算机代数系统可绘制纬线圈的投影示意图(见图 3)。

图 3 极区高斯投影纬线圈和子午线示意图 Fig. 3 Diagram of Parallels and Meridians of Gauss Projection in Polar Regions

图选项

同理，顾及到对任意θ值都有csc²θ－cot²θ=1，将式(10)方程式中与θ无关的量移到等号左边，两等式取倒数后平方再相减，即可以求出子午线投影方程：

根据式(12)，可利用计算机代数系统绘制出极区投影后子午线(λ间隔 15°)(见图 3)。如式(11)、(12)所示，在高斯投影中，纬线圈的投影方程形如椭圆方程，而子午线投影方程形如双曲线方程。而由图 3可以看出，在极区范围内纬线圈的形状类似扁率很小的椭圆，而子午线表示为以极点向外发散并向中央子午线靠拢的一组曲线。特别地，在余纬度很小时子午线近似为直线。 2.2 长度变形比较

高斯投影为等角投影，即从任一点出发，各方向的长度比是相等的，因此，任一方向长度比即是该点处的长度比。根据文献^[8]中长度变形的定义，略去推导，可得极区高斯投影长度变形公式：

为更直观了解极区范围内高斯投影的长度变形，利用计算机代数系统求出极区范围内的几个重要纬度θ=0°、10°、20°以及23.45°(极圈)处，各纬线圈上相对长度变形ν(见表 1)，而长度变形ν随经差或余纬度的变化趋势分别如图 4、5所示。

图 4 高斯投影长度变形随经差变化规律 Fig. 4 Rules of Length Deformation of Gauss Projection with Longitudes

图选项

图 5 高斯投影长度变形随余纬度变化规律 Fig. 5 Rules of Length Deformation of Gauss Projection with Latitudes

图选项

由表 1及图 4、5可知，在极区范围内，当点位于中央子午线或极点附近时，变形较小。由于极区复杂的地理环境，该特性可用于沿中央子午线的航线设计。随着远离中央子午线或极点，长度变形渐渐增大。在极圈范围内，长度变形最大值在极圈上经差为90°处，且该值达到了9%，此时已无法满足大比例尺地图的绘制需求，可根据特定用途，用于大洋航行时研究总的航行条件、拟定大洋航线和制定总的航行计划。

根据文献^[5]可知，日晷投影为任意投影，即在某点处各方向上长度变形不等。日晷投影主方向(纬线圈方向及子午线方向)上的长度变形公式为：

式中,ν₁、ν₂分别表示纬线圈和子午线方向上的长度变形，其中ν₁为日晷投影的极大长度变形，ν₂为极小长度变形。将日晷投影平面上某些特殊点处的长度变形值列于表 2，并借助计算机代数系统绘制出长度变形ν₁、ν₂ 随着其远离极点的变化趋势(见图 6)。

图 6 日晷投影长度变形示意图 Fig. 6 Length Deformation of Gnomonic Projection

图选项

根据式(14)，结合表 2及图 6可以看出，随着远离极点，日晷投影的长度变形逐渐增大，且纬线圈方向的长度变形大于子午线方向上的长度变形。将高斯投影长度变形 ν与日晷投影的极小长度变形ν₂进行比较，有：

则可得出结论：在极圈范围内，高斯投影长度变形小于日晷投影的极小长度变形，故其面积变形也小于日晷投影。考虑到高斯投影具有保角性质，便于确定方位，可以说，高斯投影在极区更便于应用。

2.3 子午线偏移角

根据球面高斯投影的特性可知，投影平面上的子午线为一组始于极点且收敛于坐标纵轴的曲线，并由图 3可以看出，这组曲线近似为直线。为与日晷投影平面上的子午线进行比较，更直观说明高斯投影子午线的形状，本文提出了偏移角 γ′的概念。考虑到球面高斯投影的对称性，下文对经差λ∈[0,90°]的偏移角公式进行推导。

图 7 子午线偏移角示意图 Fig. 7 Diagram of Meridian Deviation Angle

图选项

如图 7所示，分别采用高斯投影和日晷投影将极区投影至平面上，NQ′、NQ分别为经差为λ的子午线经高斯投影与日晷投影后的曲线。定义子午线偏移角γ′为NQ′到NQ的夹角，且顺时针方向为正方向。图 7中，辅助线AC为坐标纵线方向，AB为NQ'曲线上点A处的切线。根据子午线收敛角γ的定义及三角形的基本性质，可知∠BAC=γ，∠BAC+∠ABC=∠ACQ，即λ=－γ′+γ，则子午线偏移角为：

又根据文献^[7]可知，tanγ= x |λ |/ y |λ |，结合投影公式(6),可得:

将式(17)代入式(16)，可得:

利用计算机代数系统可绘制出极圈内，即 [0≤θ≤23.45°,0≤λ≤90°]范围内γ′的变化趋势,如图 8所示。

图 8 极区内子午线偏移角变化趋势 Fig. 8 Trend of Meridian Deviation Angle in Polar Region

图选项

从图 8可以看出，在极区范围内，当经差一定时，子午线偏移量 γ′ 随着余纬度θ的增大而加速增大；当余纬度θ保持不变时，γ′ 随着λ的变化趋势为先变大后变小，在经差为 0°以及90°时，偏移角γ′为0°。为了更明确地了解|γ′|值的变化情况，分别取θ为5°、10°、15°、20°、23.45°，可以得出对应纬度圈上|γ′|最大处及最大值(见表 3)。

结合图 8，从表 3中可以看出，在余纬度很小时，子午线偏移角很小，即高斯投影的子午线形状接近日晷投影后的子午线形状。也就是说，越接近极点，高斯投影子午线越接近为直线。在极圈范围内，子午线偏移角最大处为极圈上经差为45°附近，该最大值为2.468 8°。在纬度80°以上，子午线偏移角最大值为0.438 6°。

3 结 语

本文以球面高斯投影闭合公式为基础，通过引入余纬度，推导出了适用于极区的非奇异高斯投影公式。根据该公式对投影进行数学分析并与日晷投影进行比较，可得如下结论。

1) 极区非奇异的高斯投影闭合公式解决了传统公式在极区的奇异现象，一定程度上丰富了地图投影数学基础，完善了地图投影理论。

2) 推导出的极区高斯投影经纬线方程，其纬线圈投影方程形如椭圆方程，而子午线方程形如双曲线方程。

3) 将高斯投影与日晷投影公式分别展开成关于余纬度的幂级数，可知在极区当余纬度很小时，这两种投影非常接近。

4) 在极区范围内，高斯投影长度变形小于日晷投影，且高斯投影子午线形状接近日晷投影子午线形状。考虑到高斯投影具有保角性质，可更好地确定方位关系，对于绘制极区沿中央子午线的地形图具有重要参考价值，可结合目前北极航线绘制满足需要的极区航海图。将高斯投影用于极区比日晷投影更有优势。