对流层延迟的数值在天顶方向约为2.3 m，当卫星高度角为5°时,可达20 m以上^[1]；且对流层对电磁波信号产生的影响是非色散折射，因此不能利用双频或多频信号消除和求解，是VLBI、GNSS、SLR等空间定位技术的主要误差源。

在20世纪70年代初，Marini把对流层延迟表达为天顶延迟与映射函数的乘积，并给出了一个连续分式映射函数模型^[2]；随后，Davis(1985)、Ifadis(1986)、Herring(1992)、Niell(1996)、Boehm(2006)、Saha(2010)、Gegout(2011)等相继建立了不同的映射函数^{[3,4,5,6,7,8]}。这些映射函数或是基于探空气球获取气象数据,或是基于数值天气模型，在建立起大气的垂直剖面模型后，利用射线追踪法和最小二乘拟合得出映射函数的系数。

对流层的气压、气温、水汽含量等是季节、气候、地理位置、地貌等地球物理参数的复杂时变函数，而无论是探空气球还是数值天气模型，都不可避免地受到空间和时间上的限制(如某些地区没有探空数据)。此外,推算者也会有一定的取舍(如只选取某些区域、某些时段的气象数据)，由此得出的映射函数不可避免地具有一定的地域性，其在不同纬度、不同海拔区域的适用性值得研究。 1 对流层映射函数

在大地测量中，通常将任意高度角ε方向的对流层延迟表达为天顶延迟ΔL^z与映射函数mf的乘积:

式中,下标h和w分别表示流体静力学延迟(简称干延迟)和非流体静力学延迟(简称湿延迟)。本文选取了 NMF、VMF1和GMF三种映射函数作为研究对象，气象数据来源等特点见表 1。三种映射函数均可用通式(1)表示：

式中， v_w、v_h分别表示湿延迟和干延迟高程改正量,且v_w=0，

其中，a、b、c分别表示高程改正系数；h_测站的单位为km。

三种映射函数的主要区别在于a_i、b_i、c_i的取值不同^[3,4,5]。需要注意的是，文献^[4]表 1中VMF1的系数C₁₀、C₁₁有误，正确值请查阅文献^[4]。

对流层总延迟量的90%是由大气中的干大气成分折射影响引起的，剩余10%是由水蒸气而引起的。大气中某点的折射指数可以表达为大气压力、温度和湿度的函数^[9]：

其中，k₁、k′ ₂、k₃为经验系数，k′ ₂=k₂－k₁M_w/M_d；P为大气压；p_w为水汽压；T为绝对温度；Z_w为水汽可压缩性因子；M_d和M_w分别为干、湿大气的摩尔质量。Rueger给出的最佳平均系数分别为^[10]：k₁=77.689 0 K/hPa，k₂=71.295 2 K/hPa，k₃=375 463 K²/hPa。 2.2 探空气球

探空气球由氦气球和电子探空仪(含GPS模块和温度、气压、湿度传感器等)组成。放飞后以约5 m/s的速度上升，按一定时间间隔(通常为2 s)测量温度、气压、湿度和风速，并将观测数据传送回地面，约上升到30 km高空后自行爆裂。地面站接收到数据后进行检核和处理，一般会给出各标准气压层(1 000、 925、850、700、600、500、400、300、250、200、150、 100、70、50、30、20、10 hPa)的气象元素。 2.3 射线追踪原理

根据美国气象协会的定义，射线追踪是利用折射和反射定律对射线路径进行追踪，从而确定电磁波或声波的传播的一种图形或数学方法上的近似^[10]，此种方法很早就用于处理大气中的电波传播问题。

由于对流层大气折射指数沿高度的变化远远大于沿水平方向的变化，因而通常都基于球对称假设将对流层分为若干层，如图 1所示，假设地球为圆球，其球 心为O，将大气层分为m个薄层，以地球表面某测站P₁的天顶方向为Y轴、任一水平方向为X轴建立坐标系，则高度角ε_j方向的干、湿延迟的通式表达为：

其中，下标i代表干(h)、湿(w)分量；下标k代表大气分层序号；下标j表示卫星高度角序号；s代表信号传播路径长度；N代表对流层折射指数。

图 1 射线追踪法示意图Fig. 1 Schematic Diagram of Ray-Tracing

图选项

利用探空气球获取的温度、气压和湿度垂直剖面进行射线追踪，是最为精确的计算对流层映射函数的方法^[11]。当气象元素的精度取温度±0.5 ℃、气压±1 hPa、相对湿度±5％时，干延迟的最大误差为0.26 cm，湿延迟的最大误差为1.6 cm^[12]。而探空设备的实际测量精度通常都优于这些值。由于射线追踪是基于球对称假设的，其计算所得的对流层延迟精度主要取决于斜路径上的代表性气象误差，即实际大气状况与球对称假设之间的差异。 2.4 本文研究方法

本文以基于探空气球数据、采用射线追踪法计算的对流层延迟作为参照值，分析投影函数的精度。步骤如下：① 基于Fortran和Matlab语言计算或内插得到各投影函数的系数值(包括下载2012年的VMF1格网数据)； ② 收集8个站点2012-01-01~2012-12-31每天两个历元(UTC0:00和UTC12:00)的探空气球数据，每个历元包含16个标准气压层的气象元素，剔除粗差，获得各站共计366×2×8=5 856个历元的对流层大气剖面； ③ 分别在ε_j=90°、80°、70°、60°、50°、40°、30°、25°、20°、15°、12°、10°、9° 、8°、7°、6°、5°、4°(j=0,1,…,17)共计18个高度角方向进行射线追踪，得到每站上各历元、各高度角方向的干、湿延迟值共计5 856×18×2=21 816个； ④ 按式(3)计算得到各投影函数在各个高度角方向的干湿分量偏差序列 Γ_i^k(ε_j)：

式中，ΔL_i^z=ΔL_i(ε₀) 表示用射线追踪得到的天顶延迟干、湿分量；mf为投影因子值；上标k=0,1,2代表NMF、GMF和VMF1；其余符号的意义同前。则某一站点的某种投影函数的序列由366×18×2=13 176个值组成；⑤ 对各站点的时间序列进行统计分析，得出结论。 3 数据分析

采用中国区域8个气象站点的数据，详见表 2，其中各站的年均湿度是利用其全年的数据取平均得到的。

按§2.3中的步骤进行计算，用 X轴表示高度角,Y轴表示站点,Z轴表示对流层延迟偏差Γ_i^k(ε_j)的均值或RMS，绘制了三维柱状图。

图 2和图 3分别展示了干延迟和湿延迟的结果。以下叙述时，在各映射函数名称前冠以 h和w，分别表示干延迟和湿延迟。为便于绘图，站点名采用末尾两字母，并将差值和RMS均取为绝对值，从左至右按4°高度角时均值的绝对值的升序排列(注意各图Y轴排序有不同)。

图 2 三种投影函数的2012年平均干延迟偏差及RMSFig. 2 Mean Discrepancies and RMS of Hydrostatic Delays of 3 Mapping Functions in the Year of 2012

图选项

图 3 三种投影函数的2012年平均湿延迟偏差及RMSFig. 3 Mean Discrepancy and RMS of Non-hydrostatic Delay of Three Mapping Functions in the Year of 2012

图选项

从图 2可知，对于h_NMF，各站15°高度角以上的偏差均值和RMS都接近于0。在4°高度角，ZGHB、ZBAA的偏差均值最大，超过了0.04 m；ZGSH、ZHHH、ZLJQ和ZGCS的较大，约为0.02 m；TABE和ZGHK的最小，不到0.003 m。RMS的情况与之类似。这表明在中国区域，h_NMF的精度与站点纬度有关，纬度越高，精度越差。

对于h_GMF，各站12°高度角以上的偏差均值和RMS都接近于0。在4°高度角，ZGSH、ZHHH、ZGCS和ZGHB四者的偏差均值较为一致，接近0.02 m；其余四个测站在0.01 m上下。RMS方面，仍然呈现出与h_NMF相似的纬度相关性。

对于h_VMF1，各站10°高度角以上的偏差均值和RMS都接近于0。8个站点中7个站的均值小于0.01 m，5个站的RMS小于0.01 m,不再具有纬度相关的明显特征。但ZHHH和ZGCS的偏差均值和RMS最大，表明h_VMF1在这两个站点的适用性相对较差。

从图 3可以看出，对于w_NMF，各站15°高度角以上的偏差均值和RMS都接近于0。对照表 2可知，除ZGSH外，其余各站的精度表现为年均湿度越小，精度越高。

对于w_GMF和w_VMF1，各站12°高度角以上的偏差均值和RMS都接近于0。二者的精度不如w_NMF具有明显的规律，且w_GMF比w_VMF1更为均匀。

图 4显示了2012年三种映射函数在两个代表性高度角方向(10°、4°)的偏差波动情况。限于篇幅，本文只列出了ZGHB、ZHHH、ZGCS三站的图形。可以看出,对于干延迟，在DOY(1，100)和DOY(301，366)区间，h_NMF在三站普遍呈现系统性偏差，且纬度越高，偏差越大；期间h_VMF1和h_GMF在 ZHHH、ZGCS均呈现一定的系统偏差，h_GMF和h_NMF的趋势较为一致。在DOY(101，300)区间，三种映射函数的偏差都很小，且h_GMF和h_VMF1的趋势较为一致。值得注意的是，h_VMF1全年在ZGHB的偏差值都很小，精度明显高于其他两站。

对于湿延迟，在DOY(150，280)区间，三种映射函数在ZGHB的偏差都呈现幅值较大的随机性波动；在DOY(120，300)区间，各映射函数在ZHHH、ZGCS的偏差值的波动明显较ZGHB剧烈。

图 4 三个站代表性高度角方向的偏差Fig. 4 Discrepancies at Typical Directions on Three Stations

图选项

1) 干延迟偏差多呈现系统性，而湿延迟偏差多呈现随机性，这与干性大气和水汽的物理特性有关。

2) NMF在8个站点普遍呈现季节性偏差，这与NMF所用的26个探空气球站中没有中国境内的站点有关。且h_NMF是纬度越高，精度越低；w_NMF则恰好相反。

3) GMF较NMF精确，其大部分偏差值介于VMF1和NMF之间，这与GMF的系数取值与二者均有相近之处有一定关系。

总体而言，VMF1较NMF和GMF的精 度要高，稳定性要好。但在DOY (1，100)、DOY (301，366)区间，h_VMF1在ZHHH、ZGCS等站点出现较大的系统性偏差；在DOY(120，300)区间，w_VMF1的随机误差明显增大。可见VMF1在某些站点也具有一定的季节性偏差，这可能与这些站点周围大气的气温、气压、湿度在空间和时间上的变化较为独特有关。从表 1也可看出，除VMF1的a系数是根据实测气象数据事后求得外， VMF1的b、c和NMF、GMF的a、b、c系数都是根据某一段时间的气象数据求得的经验值，因而其在特定站点、特定时间的适用性必然受到限制。如何建立这些站点所在区域的更为精确的对流层映射函数值得进一步研究。