图像分割是图像处理中最基础的问题，图像分割的质量直接影响到后续的图像分类、图像解译以及模式识别等工作。如何提高图像分割的质量，已经引起有关方面的注意。在客观世界中，不同类别的影像之间可能存在一定的重叠，采用“一刀切”的办法不一定能将图像上的两个类别划分清楚。在实际情况中，难以确定图像上的一个目标属于某个类别，而不是其他类别的成员，由此引出模糊聚类的概念^[1]。笔者曾应用模糊逻辑进行了图像分割的尝试，取得了一定的效果^[2]。在近十多年中，不少学者针对模糊逻辑的不足作了进一步扩充，提出了中智逻辑(neutrosophic logic，NL)方法^{[3, 4]}。中智逻辑不仅是研究模糊逻辑中一个目标属于类别A的模糊想法是“真”还是“假”的问题，而且还研究在“真”与“假”之间存在一个连续的中立区，在中立区中，目标的归属应为类别A还是B，这是个似是而非的问题。由此可见，中智逻辑考虑到的情况更接近客观真实的情况。为此，本文介绍了应用中智逻辑进行图像分割(NL image segmentation,NLIS)的原理方法和实验结果。

1 中智逻辑图像分割的原理和方法 1.1 中智逻辑的基本概念^[3]

中智逻辑讨论的是中智集中的问题，假定在空间 X中存在一个中智集A，中智集A由三个子集“真”(truth)(隶属度函数T_A(x))、“不确定”(indeterminacy)(隶属度函数I_A(x))和“假”(falsity)(隶属度函数F_A(x))组成。T_A(x)、I_A(x)、F_A(x)是]^-0,1⁺[的标准或非标准子集^{[3, 4]}。即

其中,^-0=0-ε,1⁺=1+ε，“0”和“1”表示标准部分;“ε”表示非标准部分。[0, 1]就是正常情况下的闭区间表示，式(1)即为非标准分析中的表示形式。由于这一特点，在中智逻辑分析的问题中，对T_A(x)、I_A(x)和F_A(x)三者之和的值没有限制，即

在图像分割问题中，如何将一个目标属于某一个类别为“真”、“假”或“不确定”的程度定量地表示出来，是至关重要的问题。

1.2 中智逻辑图像分割的数学模型

图像分割的目的是使具有相似特征性质的像元聚集在一起，使聚类内部的连通性、紧致性达到最大，而类间的连通性或紧致性达到最小^[1]。根据这一要求，使用聚类区域中特征的均值和区域中像元的特征值来定义中智集的{真，不确定性，假}。

假定将一幅图像G划分为三个聚类区域G₁、G₂、G₃，每 一个聚类区域的特征均值分别为Center1、Center2、Center3。在某个区域中，像元(i，j)属于该区域为“真”的程度由式(3)定义：

式中，T₁₁(i,j)表示第一聚类区域中像元(i,j)属于第一区域为“真”的程度；T₂₂(i,j)和T₃₃(i,j)类似；g₁(i,j)表示第一聚类区域中像元(i,j)的特征值(即灰度或分形维或能量)；g₂(i,j)、g₃(i,j)类似； Center1、Center2、Center3分别为三个区域的特征均值；Abs()表示取计算结果的绝对值。

式(3)中，对于第一个公式，当g₁(i,j)=Center1时，T₁₁(i,j)=1。这个结果表明，在第一聚类区域中，像元(i,j)的特征值与该区域特征均值相等时，该像元属于第一聚类为“真”的值最大等于1。这个结果与把相同或相似性质的像元聚集在一起的要求是一致的。因此，用式(3)计算的结果作为中智集中“真”的程度度量是合理的。

“假”的定义如下：

中智集中不确定性的度量是这样考虑的：在区域1中，某像元(i,j)的不确定性是在这样的情况下发生的，即当某像元(i，j)的T₁₁(i,j) 值较小时，表示该像元属于区域1为“真”的可能性很小，那么它属于区域2或区域3的可能性较大，在这样的情况下，把区域1中像元属于区域2或区域3为“真”的程度定义为区域1中像元的不确定性。即

从式(5)可以看出，如果 T₁₂(i,j)＞T₁₃(i,j),表明区域1中像元(i,j)的特征值接近区域2的特征均值Center2，该像元应离开区域1进入区域2中;否则，区域1中像元(i，j)应进入区域3中。由此,区域1中像元(i，j)的不确定性I₁₁(i,j)由两部分组成：

类似地，区域2、区域3中像元(i，j)的不确定性为：

式(7)、式(8)中的符号与前面的定义相似。

式(3)~式(8)便是中智集中{T(i,j),I(i,j),F(i,j)}定量计算的数学模型。

1.3 中智逻辑法图像分割的主要过程

1) 将一幅图像初步划分为三个区域，利用图像的分形维特征值^[5]构建直方图，根据直方图将图像划分成三个像元数近似相等的初始分割区域。

2) 利用式(3)分别计算出各区域中每个像 元(i，j)的“真”，即T₁₁(i,j)、T₂₂(i,j)、T₃₃(i,j)。

3) 利用式(4)分别计算出各区域中每个像元(i，j)的“假”，即F₁₁(i,j)、F₂₂(i,j)、F₃₃(i,j)。

4) 利用式(5)～式(8)分别计算出各区域中每个像元(i，j)的“不确定性”，即I₁₁(i,j)、I₂₂(i,j)、I₃₃(i,j)。

5) 确定各区域中由于T_kk(i,j)值(k=1,2,3)较小(即为“真”的程度偏低)要离开各自区域的阈值。根据在模糊逻辑图像分割中的经验，采用隶属度值小于等于0.45作为离开各自区域的阈值^[2]。在中智逻辑中，T_kk(i,j)的最大、最小值很少达到1和0，为此，采用更切合实际的阈值计算方法。

式中,Th₁表示区域1像元离开本区域的阈值;t_11min表示区域1中T₁₁(i,j)的最小值；t_11max表示区域1中T₁₁(i,j)的最大值；其他符号Th₂、Th₃、 t_22max、t_33max、t_22min、t_33min亦有类似的意义。

有了阈值Th₁、Th₂、Th₃，就明确了哪些像元应离开相应的区域，可是究竟应当归并到哪个区域不明确。

6) 不确定性I_kk(i,j)的计算。以第1区域为例，由式(6)I₁₁(i,j)=(T₁₂(i,j),T₁₃(i,j))，其中T₁₂(i,j)说明区域1中的像元划归区域2为“真”的程度，T₁₃(i,j)为区域1中的像元划归区域3为“真”的程度，根据两个数值的大小，就可以决定应归并的区域。若T₁₂(i,j)＞T₁₃(i,j)，则区域1中的像元应归并到区域2，否则归并到区域3。其他两个区域仿照上述情况执行。

7) 经过以上6个过程，三个初步划分区域中的像元进行了一次重新组合，将这一过程称之为完成一次演化的过程。对三个区域，用它们的特征值分别计算各自的标准差σ。

8) 转入过程2)，开始新一轮的演化计算，直至三个区域的标准差值σ趋向稳定或达到规定的演化次数为止。

2 对中智逻辑图像分割的分析与思考

从NLIS的原理方法介绍中可以看到，该方法的特点是对中智集中的“真”、“不确定性”、“假”三个要素给出可以定量表示它们的数学模型，特别是“不确定性”数学模型，它给出一个像元(i，j)属于其他区域为“真”的程度，程度的大小为准备离开所在区域的像元指出了归并的方向，加快了分割演化的进程。表 1为 NLIS中演化过程的部分数据，其中，Iter为演化迭代次数；Center为聚类区域像元特征的均值；σ为聚类区域像元特征的标准差；N表示区域中非零像元的个数。

从表 1中数据可有以下结论。

1) 只需15次演化迭代就完成中智逻辑图像分割的演化计算，三个区域的标准差 σ₁、σ₂、σ₃ 逐渐减小，且趋向稳定。这种情况与模糊逻辑图像分割(fuzzy logic image segmentation,FLIS)^[2]相比，迭代次数减小一半(FLIS需要迭代35次)。

2) 从表 1中每个区域的非零像元数量 N₁、N₂、N₃在演化迭代过程中的变化可以看出，第3个区域的N₃越来越小，到第15次迭代后，第3个区域只剩下3个像元，即N₃=3。 这是因为随着演化过程的进展，第2、3区域的特征均值越来越接近，对于Iter=15而言，Center2=1.603 5，Center3=1.616 7。这样的趋势说明，通过中智逻辑图像分割演化，将初始的三个划分区域变成了两个区域，给分割后图像的后处理带来了方便。

3) 从研究中认识到，利用中智逻辑解决具体问题时，确定中智集中“真”、“不确定性”、“假”的数学模型至关重要，不合理的数学模型不能给出正确的结果。目前有关中智逻辑的应用文章不少，但是给出定量数学模型的很少。如尝试将文献^[6]中解决去图像噪声的中智集定量模型用于图像分割就行不通。

3 实验与分析

为了验证本文提出的用于图像分割的中智集中“真”、“不确定性”、“假”的数学模型表示的正确性，本文使用了已有的图像分割方法采用的三幅航空影像(100像素×100像素)，如图 1所示，便于对比分析^[2]。同时，本文对每个像元的分形维、能量和灰度值同时使用作为像元的综合特征也进行了NLIS实验，有关使用综合特征的细节参见文献^[7]。为了作出定量评价，在Photoshop环境下，分别在三幅图像分割区域的边界上量测60~70个点的(i，j)值作为理论值，以便与实际分割的量测值进行比较，给出分割质量。

图 1 三幅原始图像 Fig. 1 Three Original Images

图选项

由实验结果得到以下结论：

1) 中智逻辑图像分割(NLIS)的精度优于模糊逻辑图像分割(FLIS)的精度。从表 1中可见，NLIS法的精度高于FLIS法，特别是利用综合特征时。

2) 使用综合特征时，NLIS方法的分割精度明显高于使用单特征的分割精度。从表 2中数据的对比完全证明了这一点。从单特征图 2(a)、2(b)、2(c)与综合特征图 2(d)、2(e)、2(f)的对比可以看出，使用综合特征分割(对照图 1)图像的完整性优于单特征的。

图 2 三幅航空影像NLIS的结果图 Fig. 2 NLIS Figure Results of Three Aerial Images

图选项

从以上两点可以证明，本文提出的用于图像分割的中智集中三个要素“真”、“不确定性”、“假”的数学模型是正确的，新图像分割方法是有效的。