近年来，对张量图像(如极化合成孔径雷达图像以及医学中的弥散张量图像)的研究越来越多^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]}。与传统图像不同，张量图像的每一个像素点值对应某些特征的二阶统计量，是正定对称矩阵^{[4, 5]}。现有的方法通常将张量图像的每一个像素看成多通道的标量图像进行处理^{[6, 7, 8, 9]}，但这样可能破坏元素之间的代数结构，从而使得图像中的部分信息丢失。理想的张量图像处理将每个像素对应的协方差矩阵看成一个结构张量，将整幅图像看成一个张量场，然后在张量场中解决图像的处理问题。如果该矩阵是实矩阵(如医学弥散张量图像)，则对应实张量场的处理；如果该矩阵对应复协方差矩阵(如极化合成孔径雷达图像)，则需要解决复张量场的去噪问题。本文旨在建立复张量场上的扩散方程模型，并应用于合成孔径雷达图像的处理^{[3, 9, 10, 11]}。

在实张量场的处理方面，Pennec等^[5]在2006 年提出了一种张量场的黎曼度量，推导了实张量场上的扩散方程并将其应用在一些以张量形式表示的图像处理中。Pennec等^[5]通过定义两个n阶正定对称实矩阵的黎曼度量，计算由n阶实对称正定矩阵构成的张量场的测地线方程，从而得到了实张量场上的扩散方程和相应的数值迭代格 式。然而，由于张量场的各项异性扩散方程在进行数值计算的时候需要对矩阵进行指数运算和对数运算,Pennec等^[5]提出的方法的计算效率并不高。为了解决这一问题，Collard等^[4]针对实对称正定矩阵构成的张量场处理进行了改进，其主要思路是：首先将正定矩阵 Σ 进行谱分解，用单位四元数等价地表示正交矩阵；然后分别将向量场的PM模型^[12]和张量场的PM模型应用到相应的分量上^[4]。这样通过在预处理阶段将图像分解 成向量场和由对角矩阵构成的张量场，提高了算法的运行效率。但是,这种方法无法扩展到复张量图像上。本文主要研究如何将标量和向量场中的基于扩散方程的PM模型^[12]推广到复张量场中，推导复张量图 像的去噪模型。首先对复张量场进行分解，将复张量场分解成由正定对角矩阵构成的张量场和两个向量场。在此基础上，本文进一步拓展了PM 模型，推导出相应的数值迭代格式。最后，分别利用模拟图像和真实SAR 图像来验证算法的有效性。与现有算法^[13]相比，本文中的算法具有更好的去噪能力和边缘保持能力^{[14, 15]}。本文工作的前期研究可参见文献[16]。

用高斯核函数G(x,y;σ)=卷积标量图像u₀(x,y),得到u₀(x,y)在尺度σ上的图像u(x,y;σ),即

式(1)随着σ逐渐增大，u(x,y;σ)会逐渐模糊，图像的细节、噪声等高频信息会随着σ的增大而消失。因此，用高斯核与原始图像卷积可以抑制噪声，称为高斯低通滤波^{[15, 17]}。

事实上，式(1)为热传导方程

的解。为了使高斯低通滤波器能够在抑制噪声的同时保持图像的细节信息，可以修改热传导方程的扩散项。Perona和Malik从尺度空间理论出发，得到了各项异性扩散的偏微分方程模型，即PM模型^[12]：

式中，c( 丨∇u丨 )是控制扩散率的函数。对于图像中平坦的区域，对应的梯度向量的模会比较小，此时c( 丨∇u丨)的取值应该比较大，使得方程局部退化为热传导方程，从而达到抑制噪声的效果。对于细节信息比较多的区域，梯度向量会比较大，此时c( 丨∇u丨 )的取值也应该比较小，会保持更多的细节。关于函数c(s)的形式，我们通常选取c(s)= 1+(s/κ)² －1或c(s)=e^－(s/κ)2，其中κ是可调节的参数。

设 Σ (x,t)是定义在ℝ²×[0,∞)上的n阶实对称正定矩阵场(实张量场)。根据仿射不变的黎曼度量及相应的测地线方程^［5]，可以得到实张量场上的PM模型：

式中，Δ_u Σ 是 Σ (x,t)沿方向u的Lapalace-Beltrami算子：

表示 Σ (x)沿着u方向的方向导数，具体形式为：

如果将方程(4)的第一行写为∂_t Σ (x,t)=－W(x,t)的形式，则有迭代格式：

式中，。

由于迭代式(4)的计算速度比较慢，Collard等^[4]将3阶实正定对称矩阵通过SVD分解得到Σ = UΛU ^T并用单位四元数q等价的表示正交矩阵 U ，从而将张量场 Σ (x)分解成了由对角矩阵构成的张量场 Λ (x)和表示正交矩阵 U 的向量场q(x)，再将式(4)和向量场的PM模型分别应用到 Λ (x)和q(x)，得到了相应的数值迭代格式。

实张量场可以被分解为一个表示单位四元数的向量场和一个对角矩阵构成的张量场^[4]，即将实张量场中的每个实正定对称矩阵分解成了一个单位四元数和对角矩阵。然而，复张量场的情形目前没有有效的方法。本文将采取相似的思路，对3阶埃尔米特正定矩阵进行分解。

给定一个阶埃尔米特正定矩阵 H ，有:

通过欧拉公式，得到：

其中，；θ_i,j=tan^－1( b_i,j/a_i,j) ,i=1,2,3；j=1,2,3。

定义1    设A=(a_i,j)_n,m∈￠^n×m，丨A丨 定义为：

式中，丨a_i,j丨 是复数a_i,j的模。

定理1    若 Σ 是n阶埃尔米特正定矩阵，则丨Σ丨是n阶实正定对称矩阵。

证明     由埃尔米特矩阵的定义，∀z∈￠ⁿ，z≠0，有：

将式(10)展开，并取z∈ℝⁿ，有：

即丨Σ丨 是实正定对称矩阵。

证毕。

根据定理1以及式(8)，一个3阶埃尔米特正定矩阵 H 可以由一个实正定对称矩阵丨H丨和3个辐角θ_1,2、θ_1,3、θ_2,3表示。如果将θ_1,2、θ_1,3、θ_2,3写成向量的形式 θ =(θ_1,2,θ_1,3,θ_2,3)^T，3阶埃尔米特正定矩阵构成的张量场 Σ (x)就可以被分解成一个实正定对称矩阵构成的张量场| Σ (x)|以及一个向量场 θ (x)。更进一步，实正定对称矩阵构成的张量场| Σ (x)|可以分解成一个由对角矩阵构成的张量场 Λ (x)以及一个向量场 q (x)^[4]。因此，复张量场就可以被分解为 Λ (x)、 q (x)以及 θ (x)，记作

给定一个初始张量场 H ₀(x),x∈￠²，首先等价的将它表示为( Λ (x),q (x),θ (x))，然后对于向量场 q (x)和 θ (x)，使用向量场的PM模型。由于 Λ (x)是实正定对称的，因此，可以使用实张量场的PM模型^[5]来进行噪声抑制，具体的迭代公式如下：

其中,c(t)=exp(－(t/κ)²)。

算法1    复张量场PM 模型的数值算法

输入:初始图像Σ ₀(x)，迭代次数N，迭代步长τ以及参数κ_Λ、κ_q、κ_θ。

输出：经过N次迭代得到的图像 Σ _N(x)

1) 令k=0，将 Σ ₀(x)分解成Λ₀(x)、q₀(x)和θ₀(x)

2) while k<N do

3) for x do

4) 根据式(13)~式(15)，计算Λ_k+1、q_k+1以及θ_k+1

5) end for

6) k←k+1

7) end

8) 将 Λ_N(x),q_N(x)和θ_N(x)组合为 Σ _N(x)

9) 输出 Σ _N(x)

需要注意的是，将复张量场分解成两个向量场和一个实张量场，是基于以下假设:

假设1    设原始图像为 H (x)~( Λ (x),q (x),θ (x))，被噪声污染的图像为(x)～((x),(x),(x))，并且(x)，(x)，(x)是互不相关的。

因此，式(13)～式(15)中对应的c(t)的参数κ理论上是不一样的，需要分别选取。

本文将提出的算法应用到模拟的复张量图像和真实的极化合成孔径雷达图像上，并与窗口尺寸为3 的Refined Lee滤波器^[13]的去噪结果进行比较。对于模拟图像，通过比较结构相似度指数SSIM^[14]、均方误差MSE 及峰值信噪比等定量指标，表明本文算法整体优于Refined Lee方法^[13]。

为产生模拟测试图像，将RGB 图像转化成用埃尔米特协方差矩阵表示的张量图像，并附加斑点噪声。比较实验采用算法1进行滤波，并与窗口大小为3的Lee 滤波器得到的结果进行了对比，实验结果如图 1~图 3所示。

图 1 模拟图像1的去噪结果 Fig. 1 Results on the Simulated Image 1

图选项

图 2 模拟图像2的去噪结果 Fig. 2 Results on the Simulated Image 2

图选项

图 3 模拟图像去噪结果的张量可视化结果 Fig. 3 Visualization of Tensors with Respect to the Filtering Results on a Simulated Image

图选项

为了更好地评价去噪效果，对图 1、图 2中的结果进行了定量评价，评价指标为结构相似度指数SSIM^[14]、均方误差MSE 以及峰值信噪比PSNR，具体结果如表 1 所示。

由表 1可以发现，对于图 1和图 2，相较Refined Lee^[13]而言，本文方法的去噪结果可以得到更高的信噪比和结构相似度，同时均方误差也更小，但图 2在去噪的过程中改变了部分颜色信息。

值得注意的是，本文的算法是直接在张量空间中进行操作的，因此，可以恢复数据的代数结构，使得每一个像素点代表的协方差矩阵的正定性可以得到较好的恢复。为了说明这一点，可以参照一幅代表同质区域的纯净的复张量图像Σ (x)。对 Σ (x)以及有噪声的图像(x)，在用本文算法去噪之后，图 3显示了每一个像素点x处的椭球 Σ (x)。 可以看出，本文算法较好地恢复了每一个椭球的形状。

本文选取Flevoland地区和San Francisco地区的极化SAR图像进行实验，验证本文算法在真实数据上的有效性。其去噪结果的Pauli RGB分解结果如图 4～图 6所示。 从图 4～图 6可以看出，本文方法在细节的保持上更好一些，尤其是地面目标点的恢复上，此时Refined Lee 模糊掉了大部分地面目标点。

图 4 PolSAR图像的去噪结果 Fig. 4 Results on the PolSAR Images

图选项

图 5 Flevoland地区PolSAR图像的去噪结果 Fig. 5 Results on the Flevoland Area PolSAR Images

图选项

图 6 旧金山地区PolSAR图像的去噪结果 Fig. 6 Results on the San Francisco PolSAR Images

图选项

图像的噪声抑制是图像处理中传统并充满挑战的问题，其主要难点在于如何在抑制噪声的同时尽可能地保持原图像中的细节信息，良好的去噪算法可以为后续的图像处理工作带来诸多便利，如目标识别、图像分割等。本文从偏微分方程的角度研究了张量图像的噪声抑制问题，为复张量图像的处理提供了一个新的思路：将每一个像素上的协方差矩阵看做一个整体。本文从标量图像的PM 模型出发，结合现有的实张量场的黎曼框架，对3 阶埃尔米特场提出了各向异性的扩散方程，并将其应用到了张量图像的去噪问题上。

然而，本文算法还有诸多值得改进和研究的地方，如图 2所示，虽然本文算法的去噪效果优于文献[13]，但丢失了部分颜色信息，这可能是由于黎曼度量的选取造成的。因此，为了能更好地抑制噪声并且保持边缘，同时避免影响图像的色彩信息，有必要研究更符合合成孔径雷达成像原理的黎曼度量。除此之外，张量场上的偏微分方程的快速求解也是一个值得研究的问题。