空间实体的位置不确定性是GIS的核心研究课题之一，其精度对GIS应用具有较大的影响。对空间实体位置不确定性的研究逐渐引起较多学者的关注^[1]。

空间实体包括点、线、多边形(或称GIS面状实体、面元)等类型。点元的位置不确定性在测绘学领域中已有较多的研究，如常用的误差椭圆、误差椭球等。线元的位置不确定性建模是基于误差传播定律、统计学和随机图形学等理论，相继提出了 ε-带模型^[2]、置信域模型^[3,4]、G-带模型^[5]、ε_σ模型^[6]和ε_m模型^[7]、H-带模型^[8,9,10,11]、ε_E模型^[12]等，在此基础上，线元的位置不确定性建模也发展了曲线和多边形的位置误差模型等^[13,14,15]。线元的位置不确定性模型已经能够较好地评估一般情形下空间线状实体的位置不确定性。多边形的位置不确定性研究已经从模型构建发展到GIS应用^{[16,17,18,19,20,21,22,23,24]}，二维空间多边形的位置不确定性研究已经取得了较为丰硕的成果。

空间实体的不确定性研究主要集中在以下几方面：① 二维空间线元、多边形的位置不确定性研究，较少对三维空间实体的位置不确定性进行研究，如三维空间多边形的位置不确定性研究;② 空间实体不确定性的形状刻画，如误差椭圆、哑铃型或棒槌型形状等，较少研究空间实体的误差度量模型。因此，本文以三维空间多边形为研究对象刻画三维空间多边形的位置不确定性形状，并基于积分学原理研究三维空间多边形的位置误差度量模型。 1 三维空间线元置信域模型

线元是由起始端点和终止端点连接而成的，其位置不确定性是由组成线元上所有点(包含线元两端点)的不确定性引起的；而多边形是由其边界线及边界线包围的内点组成的，其位置不确定性是由组成多边形上所有点(包括组成边界线的点)的位置不确定性引起的。线元和多边形的位置不确定性均是由于点元的位置不确定性引起的。三维空间多边形的位置不确定性可以借鉴三维空间线元的位置不确定性等相关理论。因此，本文首先研究三维空间线元的位置不确定性建模过程。

如图 1所示，已知线元两端点P、Q的位置坐标，根据直线参数方程，三维空间线元PQ上待定点R的位置坐标可以表示为：

其中r是PR与PQ长度比,r∈ 0,1 。

图 1 三维空间线元置信域模型 Fig. 1 Confidence Volume Model of Three-Dimensional Line

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三维空间线元置信域模型是一个将线元真实位置包围在内的三维空间域，是组成线元上所有点元置信域的并集，其大小取决于线元上任意点的位置误差和预设的置信水平。置信水平是线元上所有点的真实位置R₀落入相应置信域内的概率。考虑到测绘领域中点位误差服从正态分布，故假设构成线元的点位误差亦服从正态分布，且点位误差在x-y-z各向上相互独立、彼此相等。当线元上所有点的真实位置以不小于预设置信水平的概率落入置信域内时，三维空间线元上任意待定点R的位置误差为^[5,8]：

式(2)是以r为自变量、σ₁为变量、开口向上的抛物线。当r=0.5时，可以得到σ₁的最小值；当r=0或1时，可以得到σ₁的两个极大值。由此可以得到三维空间线元的置信域形状(如图 1所示的虚线框围成的区域)，该置信域模型为两头大中间小的哑铃型形状。 2 三维空间多边形置信域模型

三维空间多边形置信域模型是一个将多边形真实位置包围在内的三维空间体，是多边形上所有点元置信域的并集。三维空间多边形置信域的大小取决于多边形上任意点的位置误差和预设的置信水平 α，多边形上所有点的真实位置R₀(x₀,y₀,z₀)落入相应置信域W内的概率为：

设三维空间多边形上待定点R在x-y-z轴方向上的点位误差分别为σ_x、σ_y和σ_z，多边形上待定点R是满足式(4)的点集。

利用三角剖分原理将多边形各顶点连线构建相互邻接且互不重叠的三角形集合。求三维空间多边形上任意点位误差的过程等价于求该点所在三角形上的点位误差。如图 2所示，三维空间多边形P₁P₂,…,P_nP₁ ，利用三角剖分原理构造相互邻接且互不重叠的三角形集合P₁P₂P₃ 、…、P₁P_n-1P_n。

图 2 三维空间多边形上点位误差 Fig. 2 Position Error of Point on Three-Dimensional Polygon

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图 2所包含的三角形P₁P₂P₃中，AB平行于P₁P₂，CD平行于P₂P₃。已知P₁C与P₂C长度比(1-u)/u及线元两端点位置误差，即可求得P₁P₂、P₁P₃上C和D两点的位置误差。根据P₃B与P₂B长度比(1-v)/v，即可确定RD与CR的长度比(1-v)/v。当确定C、D两点位置误差及RD与CR的长度比的情况下即可求得三维空间多边形上任意点R的位置误差为：

类似地，设首尾相连的三维空间多边形的各点位误差服从正态分布，且各点位误差在x-y-z轴各向上相互独立、彼此相等(σ_x=σ_y=σ_z=σ₂)。当多边形上所有点的真实位置以不小于预设置信水平α的概率落入置信域内时，由式(5)及误差传播定律，且仿式(2)可以得到三维空间多边形上任意点R的位置误差：

式(6)是以u、v为自变量，σ₂为变量的二元高次方程。确定由任意点R组成的三维空间多边形置信域模型可对式(6)求极值。σ₂是u、v∈ 0,1 上连续的函数，因此式(6)在u、v∈ 0,1 区间上必定存在极大值和极小值。关于求解式(6)中极大值和极小值的过程，分析如下。

1) 式(6)中，分别对u、v求偏导数。当=0及时，可以求得u=1/3,v=1/2为式(6)的驻点坐标。

2) 为了确定驻点坐标的极值情况，分别对式(6)中u、v求二阶偏导数。此时，

当u=1/3,v=1/2时，满足A>0,AC-B²>0，该驻点为极小值点。

3) u=0，v=1或u=1，v=0是式(6)的两端点坐标，即为极值点坐标。当u =0，v=1或u=1，v=0时，式(6)的函数值为该值大于u=1/3，v=1/2时的函数值。因此，u=0，v=1或u=1，v=0是极大值点，即可知P₁、P₂、…、P_n等n个顶点是P₁P₂,…,P_nP₁上点位误差最大的点位置。

按照上述分析可以得出三维空间多边形的置信域形状如图 3所示，其形状大致为一个上下左右等各个表面均向中间凹陷的凹面体。P₁P₂…P_nP₁为三维空间多边形，其置信域模型为凹面体P′ ₁P″ ₁P′ ₂P″ ₂…P′ _nP″ _nP′ ₁P″ ₁及P₁P₂…P_nP₁各个边界的置信域围成的空间域。其中，P′ ₁P′ ₂…P′ _nP′ ₁是四周向中心平滑凹陷的凹面，且P′ ₁P′ ₂…P′ _nP′ ₁与P″ ₁P″ ₂…P″ _nP″ ₁基于多边形P₁P₂…P_nP₁对称；A₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁是线段P₁P₂形成的两端大、中间小的哑铃型三维空间置信域，其他线目标(如P₂P₃、…、P_n-2P_n-1、P_nP₁等)形成的置信域形状与P₁P₂的置信域形状类似。

图 3 三维空间多边形置信域模型 Fig. 3 Confidence Domain Model of Three-Dimensional Polygon

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如图 3所示，三维空间多边形置信域模型值T由0.5倍边界线上点元置信域集合和多边形所有内点置信域集合两部分组成。由于三维空间边界线上所有点元置信域集合对三维空间多边形置信域影响较小，可以忽略0.5倍边界线上点元置信域集合对三维空间多边形置信域的影响。

基于三角剖分原理研究多边形内点所在三角形上的点位误差是构建三维空间多边形置信域模型的基础。因此，度量三维空间多边形置信域模型是计算剖分形成的各三角形置信域并集的过程。

三维空间三角形置信域模型是以三角形为对称面，以 σ₂为厚度的相互对称的凹面体。为了便于计算，该置信域模型可以描述为：以三角形面积作为闭区域D，以Z=2σ₂作为高的三维空间体。考虑到该三维空间体中σ₂是变化的量，因此三维空间三角形置信域T₁采用多元函数积分学原理进行度量。

结合式(6)，三维空间体的高度函数Z可以表示为：

将闭区域D任意划分为n个小区域，在每个小区域上任意取一点(u_i,v_i)，作函数f(u_i,v_i)与小区域面积Δω_i的乘积，并作和：

当闭区域D被划分为无穷多个小区域，S趋于极限值时，该极限值即为三维空间三角形的置信域T₁，它可以用函数f(u,v)在闭区域D上的定积分表示：

构建如图 4所示的坐标系uP₂v，该坐标系是以三角形所包含多边形的一条边界线P₁P₂为u轴，并以该边界线的端点P₂为坐标原点，以另一顶点P₃到u轴的垂直方向为v轴。三角形P₁P₂P₃中，已知P₁P₂的长度为L，P₃到P₁P₂的垂距为W，P₃到v轴的距离为K。根据已知条件可以计算P₁P₃和P₂P₃在直角坐标系中的方程。由此，积分区域D可以表示为：

设。同时也需要注意，当P₃与P₁、P₂位于同一象限时，

图 4 三维空间多边形的置信域度量 Fig. 4 Confidence Volume Measurement of Three-Dimensional Polygon

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根据式(7)、式(10)及直角坐标计算二重积分方法，可以将式(9)转化为：

三维空间多边形P₁P₂…P_nP₁置信域T是组成该多边形的相互邻接且互不重叠的n个三角形置信域的并集，故三维空间多边形置信域度量模型可以表示为：

其中，T_j表示剖分形成的第j个多边形的置信域。 4 实例验证

建筑物面积误差是指建设工程竣工时实测总建筑面积超出规划许可的总建筑面积部分，它是由于建筑物各表面投影到某一空间平面上的位置误差引起的。本文以工程中建筑物面积误差为例，度量建筑物地面的置信域模型，评估三维空间多边形位置不确定性对建筑物面积误差的影响。

构建由A(10,0,1)、B(10,6,1)、C(0,6,1)、D(0,0,1)、E(0,0,5)、F(0,6,5)、G(10,6,5)、H(10,0,5)、M(10,3,6)、N(0,3,6)等坐标点依次相连围成如图 5所示的建筑物，建筑物面积是指由A、B、C、D围成的空间多边形ABCD的面积。由于ABCD的位置不确定性会导致建筑物面积误差。 因此，度量建筑物面积误差的问题可归结为三维空间多边形的位置不确定性度量问题。

图 5 建筑物 Fig. 5 Building

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由已知点位A、B、C、D构成的多边形ABCD中，这些点位误差服从正态分布，且各个点位误差相互独立、彼此相等。在满足以上条件的情况下，根据式(6)可知，三维空间多边形上点位误差为：

将ABCD通过三角剖分原理划分为相互邻接且互不重叠的三角形集合，即三角形ABC和三角形ACD。根据式(11)所示的三维空间三角形的置信域度量模型，度量各个三角形的置信域值。如三角形ABC中，线段AB是多边形的一条边界线，L=6，该三角形中顶点C到线段AB的距离为10，则W=10。在以B为中心、AB为u轴、BC为v轴的临时坐标系uBv中，C到v轴的距离为0，即K=0。当预设置信水平α=95%时，χ²_0.983(3)=10.2，利用Matlab 7.0中quad2d函数进行双重定积分求得三维空间多边形 ABC的置信域约等于0.9。同理求得ACD的置信域，根据式(12)可以求得建筑物面积误差T约为1.8。

为了更好地表达测量结果，通常用相对误差表示测量值的精度，则房屋面积的相对误差为T与建筑物面积的比值。在ABCD 上所有点的真实位置以不小于预设置信水平95%的概率落入置信域内时，建筑物面积相对误差约为3%。

《浙江省城镇建设工程竣工规划核实管理办法》中规定建筑物面积最大合理误差是3%，与本文实例推导结果基本一致。由此可见，三维空间多边形的置信域度量模型可用于工程建设等领域的质量控制过程。 5 结 语

本文在分析三维空间线元位置不确定性的基础上，提出了三维空间多边形置信域模型，基于积分学原理构建了三维空间多边形置信域度量模型。

需要注意的是，本文研究是在构成三维空间多边形的点位误差服从正态分布，点位误差在x-y-z各向上相互独立、彼此相等的情况下进行的研究。对于相互关联的三维空间点元构成的多边形的位置不确定性还需要进一步探讨。