水汽在大气中所占的比例仅有0.1%~3%，却是大气中最活跃的成分^[1]。水汽的相位变化所带来的巨大潜热，影响着大气垂直稳定度，对大气风暴系统的结构和演化起着十分重要的作用。水汽的平流和大气的环流所带来的潜热是地球南北半球能量平衡的重要因素^{[2, 3]}。在干旱、洪涝、泥石流等地质灾害中，水汽也扮演着重要的角色。因此，大气水汽是监测及预报全球气候变化(包括暴雨在内的高影响天气或强对流天气)的一个非常重要的气象因子。全球平均温度和水汽含量也是反映全球气候变化的两个重要指标^[4]。

文献^[3]介绍了利用GPS技术探测水汽的基本原理，并推导出了可降水量(PWV)与天顶湿延迟(ZWD)之间的关系，使GPS技术正式成为水汽探测的一种重要手段。PWV与ZWD之间的关系可以表示为：

式中，Π为转换系数。根据文献^[1]的定义，转换系数Π可表示为：

式中,ρ_w为液态水的密度;R_v为水汽气体常数;k′ ₂、k₃为大气折射常数^[1]。由式(2)可知，T_m是求解转换系数Π的关键变量，由于ρ_w、R_v、k′ ₂、k₃均为已知常数，故转换系数Π的主要误差来自于T_m。

文献^[5]已说明PWV的误差来源于计算误差、转换因子误差、模型误差。本文主要针对转换因子Π中的关键变量 T_m展开研究。

T_m与测站上空的温度、气压和水汽压有关，可通过式(3)近似计算：

在没有温度和水汽垂直廓线的情况下无法根据式(3)计算T_m。利用Bevis T_m-T_s关系进行计算是最常用的方法^[6]。该模型最初是由文献^[3]利用美国中纬度地区的8 718次探空记录计算得出加权平均温度T_m和地表温度T_s之间存在线性函数关系。此后,文献^[7]对全球分布的53个无线电探空站23 a探空资料的研究表明，T_m和T_s的相关性是随着测站地理位置与季节的变化而变化的。文献^[2]建立了适合我国东部地区使用的逐月的T_m-T_s关系。文献^[8]建立了适合武汉地区使用的T_m-T_s关系。文献^[9]通过比较分析发现T_m-T_s单因素回归结果和 T_m-T_s、e_s、P_s (e_s为水汽压，P_s为气压)多因素回归结果没有显著差异，但基于本地探空数据的回归公式精度优于Bevis T_m-T_s关系模型。该线性模型广泛应用于区域T_m和T_s的拟合，但其完全是从统计学上得到的近似拟合公式，并没有数学上的推导，理论依据相对匮乏。

本文从T_m定义出发，在温度随高度线性递减的假定下，利用数学上内积的定义和柯西中值定理推导出了T_m与T_s之间的非线性函数关系，改变了以往纯统计学意义上的T_m随T_s线性变化的关系。

1) 函数内积^[10]。若 x (t)和 y (t)分别是变量t的函数向量，则它们的内积可以定义为：

式中，变量t在 a,b 取值，且a

两个函数向量的夹角定义为：

式中,‖x(t)‖是函数向量 x (t)的范数，其定义为：

2) 柯西中值定理。如果有函数f(x)及F(x)，那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式

成立。具体定义见文献^[11]，此处不再详述。

由于水汽基本集中在对流层，特别是低对流层，因此，几乎所有的湿延迟都发生在对流层，且其中大部分产生于低对流层，所以T_m将依赖于对流层温度廓线和水汽的垂直分布^[2]。因此，在地基GPS气象学中，式(3)的积分区间为地面测站到对流层顶。这个区间很难精确确定，因此，本文采用气象学定义下的对流层顶代替进行计算。

设地面点高度为h_s，对流层顶高度为h′，则积分区间为[h_s,h′]。式(3)可记为：

由式(3)、(7)、(8)可知，水汽压 e 和温度 T 在测站上空是随高度h变化的连续函数，且T_m在区间内可导。设∫dz与∫dz的原函数分别为f、F。因此，在对流层中必定存在唯一高度h₁使得式(9)成立:

假定温度随高度呈线性递减，则任意高度的温度可由式(10)表达：

式中,h_s为地表测站温度；δ为温度递减率；h为任意高度。

根据式(4)、(5)有：

记φ=，h₀=h′－h_s，φ与温度 T 和水汽压 e 相关，顾及式(8)，得/p>

式(13)是根据加权平均温度与内积定义推导出来的，由于温度随高度的变化不能精确表达，因此式(13)无法精确求得。但在温度线性递减的假定下，‖ T ‖可由式(6)积分得出。因此，要推得因变量T_m与单一自变量T_s的关系，必须先求得φ与T_s的关系。

根据式(3)可知，水汽压和温度是随高度变化的函数，又由式(6)、(7)可知，存在唯一h₂、h₃使得式(11)、(12)表达为：

式中，e₂、e₃、T₂、T₃分别为高度h₂、h₃处的气压、温度值。

顾及φ=，代入式(14)、(15)得：

由式(6)，(10)，积分式(16)中的‖ T ‖，得:

将式(17)整理可得：

由式(18)知，φ与成正比。T₂与T₃之比近似为1，且T_s的倒数又非常小，式(18)近似表达为：

式中，a、b为待拟合系数。

为验证式(19)的合理性，亚洲平均海拔高为950 m，为方便计算取1 km，温度递减率取-6.5 K/km，对流层顶高度取11 km^[2]。根据式(13)，用我国2010年探空数据作φ图，白色曲线是根据式(19)进行拟合的曲线(见图 1)。其拟合均方根误差为6.95×10^－5，这说明式(19)是合理的。

图 1 我国78个探空站数据对φ进行地表温度的二次线性拟合 Fig. 1 Second-Order Function of φ Fitting Based on Data of 78 Radiosonde Stations in China Area

图选项

将式(19)代入式(13)，顾及式(6)、(10)，得:

将式(20)整理得：

为了更好地拟合式(21)中的系数，式(21)可简化表达为：

式中系数均为待拟合系数。

至此，本文建立了T_m与T_s推导与数理统计相结合的非线性函数关系表达式。由式(22)可知，T_m与T_s的关系并非是传统的由统计得出的线性关系。同时，由式(20)可知，在该函数模型下，T_s不变，T_m由地面站点位置与对流层顶的高度决定，且T_m与站点高度和对流层顶的平方和近似呈二次函数关系。因此，式(22)所表述的函数模型相对于线性函数模型，能较好地说明T_m与站点位置和对流层之间的关系。

本文采用R统计软件^[12]对2010年我国78个探空站数据分别按线性模型和非线性模型对各自系数项进行拟合,结果见图 2。

图 2 线性与非线性拟合的统计性质 Fig. 2 Statistical Properties of Linear and Nonlinear Fitting

图选项

图 2分别展现了线性拟合与非线性拟合的统计特性。从图 2中可以看出，非线性拟合曲线呈“S”形，在低温处与高温处明显弯曲，且在高温处的拟合明显好于线性拟合。从残差统计分布可以得出，非线性拟合相对于线性拟合具有更好的离散性。线性拟合标准差为4.192 K，非线性拟合标准差为4.116 K，相差0.076 K，这说明非线性稍好于线性拟合。

同时，为进一步探讨线性拟合与非线性拟合的差异，本文利用经度114°下我国7个探空站2010年的数据对线性和非线性函数进行拟合(见图 3)。

图 3 同经度下线性与非线性拟合 Fig. 3 Linear and Nonlinear Fitting at the Same Longitude

图选项

结合图 2，从图 3中可以看出，拟合曲线在两端处的拟合结果优于线性拟合，而在曲线中间两者拟合相差不大。由于极地和赤道附近气温是最低和最高的，一般处于T_m与T_s关系的两端，因此，可认为利用全球探空站数据拟合平均温度与地表温度的关系，非线性拟合在这两端将显著优于线性拟合。图 3中的线性拟合标准差为3.923 K，非线性拟合标准差为3.786 K，两者相差0.14 K，相对于0.076 K，非线性拟合精度明显提高。这证明了非线性好于线性拟合，能较好地反映T_m与T_s的关系。

除了T_s测定误差，本文公式是基于温度随高度线性递减的假定推得的。这一假定是把式(10)中的δ视为常数进行拟合的。δ不宜作为一个常量对待，需要建立随高度变化的δ模型来削弱因假定引起的误差。

探空站分布不均匀，以及气候差异使得T_s不能完全反映全国的变化，这使得拟合曲线在低温地区拟合较差。

本文认为文献^[14]提到的加权平均温度的精度与地理位置的关系主要是通过各地海拔高度的不同体现的这一结论有待商榷。一般地，赤道附近及热带对流层顶高度约15~20 km，极地和中纬度带高约8~14 km^[1]。因此，相对于测站海拔高度，区域内的相对高度h₀受到对流层以及对流层顶分界的影响更大，这无疑会影响到非线性函数模型的系数拟合精度。

4 结 语

本文基于垂直温度随高度线性递减的假设，从理论与数理统计上推导了 T_m与T_s之间的非线性函数关系，改变了过去加权平均温度T_m与测站温度T_s之间的线性关系式。本文用中国区域探空站数据拟合线性模型和非线性函数模型，结果表明，非线性函数模型拥有较小均方根误差，其拟合曲线与实测T_m随T_s 的变化趋势更加吻合。